例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kgm) 求这根金属棒的质量M。 解 2x2+3x+6)dx =23 图7.5.1 x+x2+6x=234(kg)。 这个问题可以作以下的推广: (1)假定物理量分布在一个平面区域上,x的变化范围为区间[a,b]。 如果过x(a≤x≤b)点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用f(x)表示,或者说该平面区域在横坐标位于 [x,x+dx]中的部分上的物理量可以表示为f(x)dx,那么由类似的讨论, 可以得到这个区域上的总物理量为 0= f(xdx
这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x 的变化范围为区间[a, b ]。 如果过 x（ a x b）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 f (x) 表示，或者说该平面区域在横坐标位于 [ , d ] x x x + 中的部分上的物理量可以表示为 f x x ( )d ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 ( )d b a Q f x x = 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 ( ) 2 3 6 (kg/m) 2 x = x + x + ， 求这根金属棒的质量M 。 解 6 2 0 M x x x = + + (2 3 6)d 6 234 (kg) 2 3 3 2 6 0 3 2 = = x + x + x 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.2求圆心在水下10m,半径为1m的竖直放置的圆形铁 片(图7.5.2)所受到的水压力。 解由物理定律,浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压 强为 p=h pg 这里,p是液体的密度,g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系,于是铁片在深度为10+x处 (-1≤x≤1)受到的压强为(10+x)g,在圆铁 水面 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 x+10 条带域,则带域的面积为 ds=2 1 dx 所以带域上所受到的压力为 dF=2g√1-x2(10+x)dx 于是铁片所受到的水压力为 2s∫M=x2(04x=10g(N) 图7.52
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h 的地方所受到的压 强为 p = h g ， 这里， 是液体的密度，g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10 + x处 ( −1 x 1)受到的压强为(10 + x)g ，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 2 d 2 1 d S x x = − ， 所以带域上所受到的压力为 2 d 2 1 (10 )d F g x x x = − + ， 于是铁片所受到的水压力为 1 2 1 F g x x x g 2 1 (10 )d 10π − = − + = （N）
这个结论可以推广到立体区域去。事实上,§4的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面x=a和x=b之间的几何体的体积公式 设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截,截面积为A(x),则 几何体的体积为 V= A(xdx 此式就可以看成是应用本方法的一个特例,其中物理量的密度函数 A(x)是截面的面积
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 x = a 和 x = b之间的几何体的体积公式： 设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 A(x)，则 几何体的体积为 ( )d b a V A x x = 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数 A(x) 是截面的面积
(2)假定物理量是分布在一条平面曲线 t∈[272] 上,分布函数(即物理量的密度)为f(),在(x(1,y(1)处截取一段 长度为dl的弧,那么在这段弧上的物理量dO为 do=f(t)du 利用弧长的微分公式, d@= f(tdl=f(vx(t'+y(odt 关于t在,2上积分,就得到 o=f f(d/=5(x'(2)2+y(02dt 这个结论可以推广到空间曲线的情况
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 x x t y y t t T T = = ( ), ( ), [ , ] 1 2 上，分布函数（即物理量的密度）为 f (t)，在( x(t), y(t)) 处截取一段 长度为dl 的弧，那么在这段弧上的物理量dQ 为 d ( )d Q f t l = 。 利用弧长的微分公式，d ( )d Q f t l = = 2 2 f t x t y t t ( ) ( ) ( ) d + ， 关于t在[T ,T ] 1 2 上积分，就得到 2 2 1 1 2 2 ( )d ( ) ( ) ( ) d T T T T Q f t l f t x t y t t = = + 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况