例设/(cCr1,证明加m。.+(-x=可() 证不妨设t=0,考虑 h f(x)dx-f(o) h h f(x)-f(0)dx+2(arcg;-)f(0) h [f(x)+f(-x)-2f(0)x+2(arcg-)f(0) nb=()+(-)-2/0+b=U()+(=)-2/(0 +2(arct- (0) 对vE>0,f(x)∈C-11,(x)≤M,36>0,使当<时,有 f(x)-f(0< 6 由arcg,-arcg,→0(h→0+0),彐n>0,使当0<h<n时, arcl E,且 h h J8 h2+x2 2M arct h 26M 这时 ×C E 33 §6.3定积分的换元法、分部积分法和第二中值定理 1.换元法 定理1f(x)∈C[a,b],q∈C[a,B,又(a)=a,q(B)=b,a≤()≤b (a≤I≤B)。则f(x)x=q(jp(t)dt 证f(x)∈C[a,b],它有原函数,记为F(x),则Fq(是∫[q()]p(1)的原函 数,由 Newton- Leibniz公式,有 f(xdx= F(b)-F(a 及「几q()p()dt=F[q(B-F[p(a)=F(b)-F(a),可得结论。 138
138 例 设 f (x)Î C[-1, 1] ，证明 ® + ò- - = + 1 1 2 2 0 0 lim f (t x)dx f (t) h x h h p 。 证 不妨设t = 0 ，考虑 ) (0) 2 1 2( [ ( ) ( ) 2 (0)] [ ( ) ( ) 2 (0)] ) (0) 2 1 [ ( ) ( ) 2 (0)] 2( ) (0) 2 1 [ ( ) (0)] 2( ( ) (0) 0 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 f h arctg f x f x f dx h x h f x f x f dx h x h f h f x f x f dx arctg h x h f h f x f dx arctg h x h f x dx f h x h I p p p p d d + - + - - + + - - + + = + - - + - + = - + - + = - + = ò ò ò ò ò - - 对"e > 0， f (x)Î C[-1, 1] , f (x) £ M ,$d > 0 ，使当 x < d 时，有 6 ( ) (0) e f x - f < ， 由 0 1 - ® h arctg h arctg d (h ® 0 + 0) ，$h > 0 ，使当0 < h <h 时， h x M hdx h arctg h arctg 2 1 1 2 2 d e d < + - = ò ，且 h M arctg 2 6 1 p e - < ， 这时 e e e e < + + = 3 3 3 I 。 §6.3 定积分的换元法、分部积分法和第二中值定理 1． 换元法 定理 1 f (x) ÎC[a,b]， [ , ] 1 j ÎC a b ，又j(a) = a，j (b ) = b ，a £j (t) £ b (a £ t £ b ) 。 则 ò ò = ¢ b a f x dx f j t j t dt b a ( ) [ ( )] ( ) 。 证 f (x) ÎC[a,b]，它有原函数，记为 F( x) ，则 F[j(t)]是 f [j(t)]j ¢(t) 的原函 数，由 Newton-Leibniz 公式，有 f (x)dx F(b) F(a) b a = - ò ， 及 f[ (t)] ¢(t)dt = F[ ( )] - F[ ( )] = F(b) - F(a) ò j j j b j a b a ，可得结论
注1在原函数定义f(x)中“ax”仅是一个记号,这个定理告诉我们它可看成 微分,x=φ(1),dx=q()dt,这样理解换元法公式是自然了 定理2设∫(x)∈C[a,b],x=o()∈C[a,B],满足 l°q(a)=a,q(B)=b; 2°φ(1)在[a,B]严格单调,则 fl(Ol 证不妨设q(1)严格上升,这时a<B,给[a,B]任意一个分割Δ:a=10<1<…<tn β,因为φ(1)严格上升,相应地产生[a,6一个分割Δ':a=x0<x1<…<xn=b,其 中x1=(t1),i=0,1,2,…,n 因q(1)在[a,B一致连续,VE>0,彐8>0,使得△1=1-1-1<6时,有 x.-x i叫 即当maxM:→0时,有 max Ax:→0。 作f[p()p()的任一积分和:σ=∑∫q(r)(r)M,t∈[4,4 及∫(x)的某一积分和 ∑∫(5)r=∑f(51)q(4)-9(t- ∑ flo(t lo(t,a q(r1)=5,T∈[1-1,]。因p(D在[a,B一致连续,VE>0,n>0,当 刀时,有p()-q(r 于是 -qs∑19(c(x)-9(x小 ≤M(B-a)E
139 注1 在原函数定义 ò b a f (x)dx 中“dx ”仅是一个记号，这个定理告诉我们它可看成 微分， x =j (t) ，dx = j¢(t)dt ，这样理解换元法公式是自然了。 定理 2 设 f (x) ÎC[a,b]， ( ) [ , ] 1 x = j t Î C a b ，满足 o 1 j(a) = a，j (b ) = b ； o 2 j (t) 在[a,b ]严格单调，则 ò ò = ¢ b a f x dx f j t j t dt b a ( ) [ ( )] ( ) 。 证 不妨设j (t) 严格上升，这时a < b ，给[a,b ]任意一个分割 n D = t < t <L < t 0 1 :a = b ，因为j (t) 严格上升，相应地产生[a, b]一个分割 D¢: a = x0 < x1 < L< xn = b ，其 中 ( ) i i x = j t ，i = 0, 1, 2, L, n 。 因j (t) 在[a,b ]一致连续，"e > 0，$d > 0 ，使得D = - < d i i i -1 t t t 时，有 D = - =j -j < e - - ( ) ( ) i i i 1 i i 1 x x x t t 。 即当max Dt i ® 0 时，有max Dxi ® 0。 作 f [j(t)]j ¢(t) 的任一积分和： i i n i i = å f ¢ Dt = [ ( )] ( ) 1 s j t j t ， [ , ] i i 1 i t t Î - t 及 f (x) 的某一积分和： [ ( )] ( ) , ( ) ( )[ ( ) ( )] 1 1 1 1 å å å = = - = = ¢ D ¢ = D = - n i i i i n i i i i n i i i f t f x f t t j t j t s x x j j i i j(t ) = x ， [ , ] i i 1 i t t Î - t 。 因j ¢(t) 在[a,b ]一致连续，"e > 0，$h > 0 ，当 l = max Dxi <h 时，有 j¢(t ) -j¢(t ) < e i i 。 于是 s -s¢ £ å= ¢ - ¢ D n i i i i i f t 1 [j(t )]j (t ) j (t ) £ M (b -a)e