沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第1章 函数、极限、连续 1.4 函数的极限

1函数极限的定义1）x一→80时函数极限的定义问题1：J=f(x)在x 一→0o的过程中,对应函数值f(x)无限接近于确定值A。问题2：如何用数学语言刻划函数“无限接近”(x)-A<ε表示f(x)-A任意小;x>X表示x→8的过程

f (x)  A   表示 f (x)  A任意小; x  X 表示x  的过程. 问题1：y=f(x)在x →∞的过程中, 对应函数值f(x)无 限接近于确定值A。 问题2: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1）x→∞时函数极限的定义 1 函数极限的定义

自变量趋于无穷大时函数的极限如果当lxl无限增大时，f(x)无限接近于某一常数A，则常数A叫做函数(x)当x→>时的极限,记为lim f(x)=A.x·精确定义lim f(x)=AV>0, 3X>0, 当|x>X时, 有I(x)-A<8.-*极限的定义的几何意义V>0:A+3X>0:当|x>X时,有|f(x)-A<:A-810X-Xx

x lim f(x)A. 如果当|x|无限增大时, f(x)无限接近于某一常数A, 则 常数A叫做函数f(x)当x时的极限, 记为 自变量趋于无穷大时函数的极限  0, X0, 当|x|X时, 有|f(x)A| . x lim f(x)A. •精确定义 v极限的定义的几何意义  0: X0: 当|x|>X时, 有|f(x)A|<:

函数极限的定义lim f(x)=A ε>0,3X>0,当 x>X 时,有x→+0f(x)-A|<εlim f(x)=AVε>0,3X>0,当x<-X时,有x→>-f(x)-A<

f x A x   lim ( )   0,  X  0, 当 x  X 时, 有 f (x)  A   f x A x   lim ( )   0,  X  0, 当 x  X 时, 有 f (x)  A   1 函数极限的定义

1函数极限的定义·水平渐近线如果 lim ,f(x)=C，则直线 y=c 称为函数 y=f(x)的图形的x-水平渐近线例如，f(x):1- xX1+2x都有水平渐近线y=O；又如,f(x)=1-2-x， g(x)=1+2x都有水平渐近线V=1

如果 x lim f(x)c, 则直线 yc 称为函数 yf(x)的图形的 水平渐近线. •水平渐近线 1 函数极限的定义 x 1 1 x 1 o y x x g x x f x    1 1 , ( ) 1 例如， ( ) 都有水平渐近线 y  0; x x f (x) 1 2 , g(x) 1 2  都有水平渐近线 y 1. 又如， o x y x 1 2 x 1 2