显然,下面两数列 {n2}:1,4,9, {(-1)”}:-1,1,-1,1, 是发散数列。 无穷小量 极限为0的数列称为无穷小量,例如数列{}, 都是 n+ 无穷小量。 ixn=a分{xr-a}是无穷小量 n→0
显然，下面两数列 {n 2 }： 1，4，9，…，n 2 ,… {(−1) n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列。 无穷小量 极限为0的数列称为无穷小量，例如数列 n 1 , + − 1 ( 1) 2 n n 都是 无穷小量。 lim { } n n n x a x a → = − 是无穷小量
例2.2.2证明{q}(0<qk<1)是无穷小量。 证对任意给定的E>0,要找正整数N,使得当n>N时,成 立 q"-0=|q| 对上式两边取对数,即得 lg a Iggy 为保证N为正整数,可取N=m3们1则当n>N时,成立 Igal q"-0|=|q|n<|q|=E 因此imq"=0,即{q"}是无穷小量 n→)0
例2.2.2 证明{ q n }( 0 | q | 1 ) 是无穷小量。 证 对任意给定的 0，要找正整数 N ，使得当 n N 时，成 立 | − 0 |= n q n | q | ， 对上式两边取对数，即得 n lg| | lg q 。 为保证 N 为正整数，可取 = , 1 lg| | lg max q N ,则当 n N 时，成立 | − 0 |= n q n | q | lg| | lg | | q q = 。 因此 lim = 0 → n n q ，即{ q n }是无穷小量
注 (1)根据前面对数列极限的定义的讨论,可以只考虑绝对值 很小的>0,不妨考虑任意给定的o<<刚,则N可取为2,当 n>N时,成立{q-0k<E
注 （1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值 很小的 0，不妨考虑任意给定的0 q ,则 N 可取为 lg| | lg q ，当 n N 时，成立| 0 | n q −
注 (1)根据前面对数列极限的定义的讨论,可以只考虑绝对值 很小的>0,不妨考虑任意给定的o<<刚,则N可取为2,当 n>N时,成立{q-0k<E (2)根据数列极限的定义来证明某一数列收敛,其关键是对 任意给定的E>0寻找正整数N。在上面的两例题中,N都是通过 解不等式xn-q<ε而得出的。但在大多数情况下,这个不等式并 不容易解。实际上,数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳 的正整数N,所以在证明中常常对{xn-d适度地做一些放大处理, 这是一种常用的技巧
（2）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对 任意给定的 0寻找正整数 N 。在上面的两例题中， N 都是通过 解不等式 n x a − 而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并 不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳 的正整数N，所以在证明中常常对 适度地做一些放大处理， 这是一种常用的技巧。 n x a − 注 （1）根据前面对数列极限的定义的讨论，可以只考虑绝对值 很小的 0，不妨考虑任意给定的0 q ,则 N 可取为 lg| | lg q ，当 n N 时，成立| 0 | n q −
例2.2.3设a>1,证明:lima=1。 证令a=1+ynyn>0(n=2,3,…) 应用二项式定理, n(n一 a=(1+yn)"=1+myn+ +y>l+,, 2 便得到
例 2.2.3 设a 1，证明：lim n→ a n = 1。 证 令 a y n = 1+ n ,yn 0 ( n = 2,3,)， 应用二项式定理， n n n n n n n y y ny n n a y ny + + + − = + = + + 1 2 ( 1) (1 ) 1 2 ， 便得到 −1 n a | | n = y a − n 1