§2 Fourier级数的收敛判别法 Dirichlet积分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉:对于一般 的以2π为周期的函数f(x),除了个别点之外(看来是不连续点),当 m→>O时,它的 Fourier级数的部分和函数序列{Sn(x)} Sm(x)=o+2(a, cosnx+b, sinx) 是收敛于f(x)的。下面从理论上来探讨这个问题
Dirichlet 积 分 仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉：对于一般 的以2π 为周期的函数 f (x)，除了个别点之外（看来是不连续点），当 m→ 时 ，它的 Fourier 级数的部分和函数序列Sm (x)， 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx = = + + ， 是收敛于 f (x)的。下面从理论上来探讨这个问题。 §2 Fourier级数的收敛判别法
将 Euler- Fourier公式 f(tcos nt dt, b f(tsin nt da 代入Sn(x), S(x)= 7/J(l+(cos nt cos nx+ sinn sinx)dr f(o+>cosn(t-x)di
将 Euler-Fourier 公式 an = π π 1 ( )cos d π f t nt t − ，bn = π π 1 ( )sin d π f t nt t − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2π f t t − = ( ) ( ) π π π π 1 1 ( )cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = + + π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = = + + π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t n t x t − = = + −
将 Euler- Fourier公式 f(tcos nt dt, b f(tsin nt da 代入Sn(x), S(x)= 7/J(l+(cos nt cos nx+ sinn sinx)dr f(o+>cosn(t-x)di 当O≠0时,由三角函数的积化和差公式,有 2m、W三 m+1 6 2 sin 当θ=0时,将等式右端理解为当θ→>0时的极限值,则等式依然成立。 因此,上式对任意∈[-πx都是正确的
当 0 时,由三角函数的积化和差公式，有 = + + = m n m n 1 2 2sin 2 2 1 sin cos 2 1 。 当 = 0时，将等式右端理解为当 → 0时的极限值，则等式依然成立。 因此，上式对任意 −[ π,π] 都是正确的。 将 Euler-Fourier 公式 an = π π 1 ( )cos d π f t nt t − ，bn = π π 1 ( )sin d π f t nt t − 代入S x m ( )， S x m ( ) π π 1 ( )d 2π f t t − = ( ) ( ) π π π π 1 1 ( )cos d cos ( )sin d sin π m n f t nt t nx f t nt t nx − − = + + π π 1 1 1 ( ) (cos cos sin sin ) d π 2 m n f t nt nx nt nx t − = = + + π π 1 1 1 ( ) cos ( ) d π 2 m n f t n t x t − = = + −
于 2m+1 sIn s(x)= f(t (作代换t-x=l) t-x 2 sin 2m+1 2m+1 SIn u SIn (x+0)-2,-dn=「f(x+0) 2 sin 2 sin 这样,就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet积分,它是研究 Fourier级数敛散性的重要工具
于是 S x m ( ) π π 2 1 sin ( ) 1 2 ( ) d π 2sin 2 m t x f t t − t x + − = − (作代换t − x = u) π π 2 1 sin 1 2 ( ) d π 2sin 2 x x m u f x u u u − − − + = + π π 2 1 sin 1 2 ( ) d π 2sin 2 m u f x u u − u + = + 。 这样，就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为 Dirichlet 积 分，它是研究 Fourier 级数敛散性的重要工具
将积分区间[ππ分成[-π0和[0,,稍加整理,就得到了 Dirichlet积分的惯用形式 2n+1 SIn Sm(x)=io[(x+u)+f(x-u da 2 sin 由前面的三角函数关系式,有 2m+1 SIn cos nu du =1 T 2SI
将 积分区间 [−π,π] 分 成 [−π,0] 和 [0, π] ，稍加整理，就得到了 Dirichlet 积分的惯用形式 S x m ( ) π 0 2 1 sin 1 2 [ ( ) ( )] d π 2sin 2 m u f x u f x u u u + = + + − 。 由前面的三角函数关系式，有 π 0 2 1 sin 2 2 d π 2sin 2 m u u u + = π 0 1 2 1 cos d 1 π 2 m n nu u = + =