§4微分形式的外微分 外微分 设UcR为区域,f(x1,x2…,x,)为U上的可微函数,则它的全微 分为 f 这可以理解为一个0-形式作微分运算后成为1-形式
外微分 设 n U R 为区域， f x x xn ( , , , ) 1 2 为U 上的可微函数，则它的全微 分为 1 d d n i n i f f x = x = 。 这可以理解为一个 0-形式作微分运算后成为 1-形式。 §4 微分形式的外微分
现在将微分运算d推广到∧上去。对∧中的任意一个k-形式 O 12…,k (x)dx,∧d 定义 d ∑ (x))∧dx;^dx;入…∧dx ∑∑ Isi<i2<<ksn i=l ax. u, ad 同时,对空间A=A+A++A上的任意一个元素 0:∈ 定义 do=do+da1+…+dono 这样的微分运算d称为外微分
现在将微分运算d推广到 k 上去。对 k 中的任意一个 k-形式 1 2 1 2 1 2 , , , 1 ( )d d d k k k i i i i i i i i i n g x x x x = ， 定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ,,, 1 1 d (d ( )) d d d d d d d k k k k k k i i i i i i i i i n n i i i i i i i i i i n i i g x x x x g x x x x x = = = 。 同时，对空间 = + + + 0 1 n 上的任意一个元素 i = 0 +1 ++ n , i ， 定义 0 1 d d d d = + + + n。 这样的微分运算d称为外微分
显然,微分运算d:A→A具有线性性,即d(ao+Bm)=ado+Bdn, O,n∈A,其中a,B为常数。 由定义可直接得到 d(dx, Adx,A…∧dx)=d(ldx^dx,A…∧dx,) (dl)∧dx2dx
显然，微分运算 d : → 具有线性性，即 d( ) d d + = + , , ，其中, 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k i i i i i i i i i x x x x x x x x x = = =
显然,微分运算d:A→A具有线性性,即d(ao+Bm)=ado+Bdn, O,n∈A,其中a,B为常数 由定义可直接得到 d(dx.∧dx dx,)=d(ldx1∧dx (dl)∧dx2^dxA…∧dx=0 例14.4.1设=P(x,y)dx+Qx,y)dy为R2上的1-形式,则 P aP dO=(dP)∧dx+(dQ)∧dy or (x+ordy adr+ao, dy ady oy ax a P Q dy∧dx+dx∧dy ag aP ∧dy ax oy
例 14.4.1 设 = + P x y x Q x y y ( , )d ( , )d 为 2 R 上的 1-形式，则 d (d ) d (d ) d d d d d d d d d d d d d P P Q Q P x Q y x y x x y y x y x y P Q Q P y x x y x y y x x y = + = + + + = + = − 。 显然，微分运算 d : → 具有线性性，即 d( ) d d + = + , , ，其中, 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k i i i i i i i i i x x x x x x x x x = = =
例14.4.2设o=P(x,y,)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,)d为R3上的1-形 式,贝 do=(dP)ndx+(do)ady+(dr)adz aP. aP a P dx t d a 8 Q o y y OR. aR a R d+∧d Ox dy∧d aP OR ∧X xd y d ay az az ax ax ay
例 14.4.2 设 = + + P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , )d ( , , )d ( , , )d 为 3 R 上的 1-形 式，则d (d ) d (d ) d (d ) d = + + P x Q y R z d d d d d d d d d d d d d d d d d d P P P Q Q Q x y z x x y z y x y z x y z R R R x y z z xyz R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y = + + + + + + + + = − + − + −