例2.2.3设a>1,证明:lima=1。 证令a=1+ynyn>0(n=2,3…), 应用二项式定理, n(n一 a=(1+yn)"=1+myn+ +y>l+ny 2 便得到 于是,对于任意给定的E>0,取N ,当n>N时,成立 E <E。 因此 lim《a=1。 n→0
例 2.2.3 设a 1，证明：lim n→ a n = 1。 证 令 a y n = 1+ n ,yn 0 ( n = 2,3,)， 应用二项式定理， n n n n n n n y y ny n n a y ny + + + − = + = + + 1 2 ( 1) (1 ) 1 2 ， 便得到 −1 n a | | n = y a − n 1 。 于是，对于任意给定的 0 ，取 a 1 N − = ，当 n N 时，成立 −1 n a a − n 1 。 因此 lim n→ a n = 1
例2.2.4证明: lim W/n=1。 n→00 证令n=1+yn,yn>0(n=2,3,…),应用二项式定理得 n(n n=(1+yn)"=1+nyn+ 2+…+m1>1×、( 即得到 =y, I 于是,对于任意给定的>0,取N-「21,当n>N时,成立 因此 lim√n=1
例2.2.4 证明： lim n→ n n = 1。 证 令 n y n = 1+ n , y n 0( n = 2,3, )，应用二项式定理得 2 2 2 ( 1) 1 2 ( 1) (1 ) 1 n n n n n n n y n n y y n n n y ny − + + + − = + = + + ， 即得到 −1 n n | | n = y n 2 。 于是，对于任意给定的 0 ，取 = 2 2 N ，当 n N 时，成立 −1 n n 2 n 。 因此 lim n→ n n = 1