§3 Fourier级数的性质 Fourier级数的分析性质 为简单起见,假定f(x)的周期为2兀。 首先,利用 Riemann引理可以直接得出 定理16.3.1设f(x)在[-πx上可积或绝对可积,则对于f(x)的 Fourier系数an与bn,有 iman=0, lim b=0。 n→)0 n→0
Fourier 级数的分析性质 为简单起见，假定 f (x)的周期为2π。 首先，利用 Riemann 引理可以直接得出 定 理 16.3.1 设 f (x)在[−π,π]上可积或绝对可积，则对于 f (x)的 Fourier 系数 n a 与 n b ，有 lim = 0 → n n a ，lim = 0 → n n b 。 §3 Fourier级数的性质
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[xm上 可积或绝对可积, +∑( a. cos nx+ b sin nx), 2后 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-πr, ∫dr=.d1+∑∫ (a, cos nt+ b, sin nt )dt
定 理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f (x) 在 [−π,π] 上 可积或绝对可积，f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， 则 f (x)的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ −π,π]， ( )d x c f t t 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t = = + +
定理16.3.2( Fourier级数的逐项积分定理)设f(x)在[xm上 可积或绝对可积, do +2(a, cos nx+b, sin nx), 则f(x)的 Fourier级数可以逐项积分,即对于任意c,x∈[-π,π], ∫()d=ta+ (a, cos nt+b, sin nt ) dt 2 证这里仅对f(x)在[-,x上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明
证 这里仅对 f (x)在[−π,π]上只有有限个第一类不连续点的情况 加以证明。 定 理 16.3.2（Fourier 级数的逐项积分定理） 设 f (x) 在 [−π,π] 上 可积或绝对可积，f (x) ~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )， 则 f (x)的 Fourier 级数可以逐项积分，即对于任意c x, [ −π,π]， ( )d x c f t t 0 1 d ( cos sin )d 2 x x n n c c n a t a nt b nt t = = + +
考虑函数 F(x)=|f(1) dt o 2 由定理7.3.1可知F(x)是周期为2的连续函数,且在f(x)的连 续点,成立F(x)=f(x)-20,而在f(x)的第一类不连续点,F(x)的两 个单侧导数 x 都存在。由 Dini-Lipschitz判别法的推论,F(x)可展开为收敛的 Fourier 级数 F(x)=+2(A, cos nx +B, sin nx)o
考虑函数 F(x) = 0 ( ) d 2 x c a f t t − 。 由定理 7.3.1 可 知 F(x)是周期为2的连续函数，且在 f (x)的连 续点，成立 F x = f x − a ( ) ( ) 0 2 ，而在 f (x)的第一类不连续点，F(x)的两 个单侧导数 F (x) = f (x)- 2 0 a 都存在。由Dini-Lipschitz 判别法的推论，F(x)可展开为收敛的Fourier 级数 F(x) = A A nx B nx n n n 0 2 1 + + = ( cos sin )
利用分部积分法,即有 SIn nx F(x)cos nxd x F(x) F(x)sin ndx T f(x) sinnxax= - 类似可得 于是 cos nx+-sin nx 2
利用分部积分法，即有 An = π -π 1 ( )cos d π F x nx x π π π -π 1 sin 1 ( ) ( )sin d π π nx F x F x nx x n n − = − π 0 π 1 ( ) sin d π 2 a f x nx x n − = − − = − b n n 。 类似可得 B a n n n = 。 于是 F(x) = = + − + 1 0 cos sin 2 n n n nx n a nx n A b