注 (1)取以a为中心,s为半径的一个开区间(a-E,a+),称 它为点a的ε邻域,记为O(a,B): O(a, 8)=ixla-8<x<a+el “当n>N时,成立|xn-a|<E”表示数列中从N+1项起的所有 的项都落在点a的ε邻域中,即 o(a,a),n>N 由于s具有任意性,也就是说邻域O(a,;)的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小,数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中,所以不难理解,a必为这个数列的极限值
由于 具有任意性，也就是说邻域 O(a, ) 的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中，所以不难理解，a 必为这个数列的极限值。 注 （1）取以a 为中心， 为半径的一个开区间(a − ,a + )，称 它为点a 的 邻域，记为O(a, )： O(a, ) = {x| a − x a + }。 “当n N 时，成立｜ x n − a｜ ”表示数列中从 N +1项起的所有 的项都落在点a 的 邻域中，即( , ), n x O a n N
注 (2)在上述的定义中,E既是任意的,又是给定的。因为只 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N
注 （2）在上述的定义中， 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 确定时，才能找到相应的正整数 N
注 (2)在上述的定义中,ε既是任意的,又是给定的。因为只 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N (3)从极限的定义可知,一个数列{xn}收敛与否,收敛于哪 个数,与这一数列的前面有限项无关。也就是说,改变数列前面 的有限项,不影响数列的收敛性
（3）从极限的定义可知，一个数列{x }n 收敛与否，收敛于哪 个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面 的有限项，不影响数列的收敛性。 注 （2）在上述的定义中， 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 确定时，才能找到相应的正整数 N
例221证明数列"的极限为 n+ 证对任意给定的ε>0,要使 <E n+ n+3 只须 E 取N=+1,其中[x]表示x的整数部分,则当n>N时,必 有n>3-3,于是成立 <8 n+3 +3
例2.2.1 证明数列 n + 3 n 的极限为 1。 证 对任意给定的 0，要使 1 3 − n + n = + 3 n 3 ， 只须 3 3 − n 。 取 1 3 + = N ,其中[x]表示 x 的整数部分，则当 n N 时，必 有 3 n 3 − ，于是成立 1 3 − n + n = + 3 n 3
显然,下面两数列 {n2}:1,4,9,…,n {(-1)”}:-1,1,-1,1, 是发散数列
显然，下面两数列 {n 2 }： 1，4，9，…，n 2 ,… {(−1) n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列