吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 20-2-习题课

例8：已知A= 且AX+B=X,求矩阵X 5-3 解：由AX+B=X,得X-AX=B、(E-A)X=B

例8：已知 0 1 0 1 1 1 , 1 0 1 A     = −      − − 1 1 2 0 5 3 B   −   =       − 且AX+B=X，求矩阵X 解：由AX+B=X，得X-AX=B、（E-A）X=B 1 1 0 1 0 1 1 0 2 E A   −   − = −       且 E A −  0

E-A可逆 .X=(E-A)1B -3 …求时 3 -1 2 0 1-1

1 X E A B ( )  = − − 0 2 1 1 1 1 3 2 1 2 0 3 0 1 1 5 3 X    −     = −          − − 1 0 2 1 1 ( ) 3 2 1 3 0 1 1 E A −     − = −    −   9 3 3 1 1 6 0 2 0 3 3 3 1 1     − −     = =             − −  E-A可逆

例9：设 矩阵X满足AX+E=A+X,求矩阵X 解：由于AX+E=AP+X,所以AX-X=-E, .(A-E)X=(A-E)(A+E) 00-1 A-=0-10 =-1≠0..A一E可逆 -100 x+E=70

例9：设 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A     =       矩阵X满足 2 AX E A X + = + , 求矩阵X 解：由于 2 AX E A X + = + , 所以 2 AX X A E − = − ,  − = − + ( ) ( )( ) A E X A E A E 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 A E − − = − = −  −  − A E 可逆 201 0 3 0 102 X A E    = + =        

例10：设AP=PB,其中 求A及A 解： 0 -10 =-1≠0，.∴.P可逆 P-1

例10：设AP=PB，其中 1 0 0 1 0 1 0 0 0 , 0 1 0 0 0 1 0 0 1 B P         = = −             − 求A及 5 A 解： 1 0 1 0 1 0 1 0, 0 0 1 P = − = −  P 可逆 1 1 0 1 0 1 0 , 0 0 1 P −   −   = −      

·,·AP=PB, A=PBP

1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A PBP−     −      = = − −         −     AP PB = , 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1    − −    = −          − 1 0 2 0 0 0 0 0 1   −   =       − 5 5 1 5 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A PB P− =       −       = − −       −       1 0 2 0 0 0 0 0 1   −   =       −