例1.解方程组 2x1+x2-5x3+x4=8 x1-3x2 -6x4=9 2x2-X3+2x4=-5 解： x1+4x2-7x3+6x4=0 2 -5 0 -5 13 5 13 -3 6 -3 6 2 -1 -1 2 0 2 2 2 1 -7 6 7 12 3 27 7 -2
例1.解方程组 + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0 2 2 5 3 6 9 2 5 8 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解: 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − − = 7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − = − 27. 7 2 3 3 = − − − =
1-5 8 1 2 -5 -3 0 -6 D =81 D2 =-108 -5 2 -1 2 0 -5 0 4 -7 6 0 -7 2 8 1 2 -5 8 -3 -6 1 -3 D =-27D4= =27 0 2 -5 2 0 2 4 -7 0
81 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 = − − − − − − D = 108 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 = − − − − − − D = 27 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 = − − − − D = 27 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 = − − − − − D =
x1=3 于是得原方程组的解为 2=4 x3=-1 x4=1 定理2.如果线性方程组(1)的系数行列式D不等于Q, 则(1)有唯一的解 定理2'如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的 系数行列式必为0
定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0, 则(1)有唯一的解. 定理 .如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的 系数行列式必为0. 于是得原方程组的解为 = = − = − = 1 1 4 3 4 3 2 1 x x x x 2
二齐次线性方程组的克拉默法则 设齐次线性方程组 a1x1+a42X2++a1nxm三0 a21x1+a22X2+…+a2mxm= 0 amx+an2x2++amnxn=O 若(4)的系数行列式 d12 azi d22 n2 nn 则(4)没有非零解
二.齐次线性方程组的克拉默法则 设齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (4) 若(4)的系数行列式 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = n n n n n n a a a a a a a a a D (5) 则(4)没有非零解
定理3.如果齐次线性方程组(4) 的系数行列式D不等于0，则齐次线性 方程组(4)没有非零解 定理3'如果齐次线性方程组(4) 有非零解，则它的系数行列式必为0。 例2.问几在什么条件下，方程组 2x1+x2=0 x1+2x2=0 有非零解？
. 定理 .如果齐次线性方程组(4) 有非零解,则它的系数行列式必为0。 定理3.如果齐次线性方程组(4) 的系数行列式D不等于0,则齐次线性 方程组(4)没有非零解. 例2. 问 在什么条件下,方程组 + = + = 0 0 1 2 1 2 x x x x 有非零解？ 3