第二章矩阵及其运算习题课 术洪亮
第二章 矩阵及其运算习题课 术洪亮
矩阵是线性代数中非常重要理论 之一，它贯穿线性代数内容的始终， 在本章中首先介绍了矩阵的一些基础 知识，其主要内容可概括为： 概念：矩阵、转置矩阵、零矩阵、负矩阵、同型矩阵等； 运算：线性运算，矩阵乘法； 对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵 特殊矩阵 三角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵 矩阵 方阵 对称矩阵、反对称矩阵 矩阵的行列式，方阵乘积的行列式，奇异矩阵、非 奇异矩阵、逆矩阵、伴随矩阵 分块矩阵：分块对角矩阵，简单分块矩阵的求逆
矩阵是线性代数中非常重要理论 之一，它贯穿线性代数内容的始终， 在本章中首先介绍了矩阵的一些基础 知识，其主要内容可概括为： 矩 阵 概念：矩阵、转置矩阵、零矩阵、负矩阵、同型矩阵等； 运算：线性运算，矩阵乘法； 方阵 对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵 特殊矩阵 三角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵 对称矩阵、反对称矩阵 矩阵的行列式，方阵乘积的行列式，奇异矩阵、非 奇异矩阵、逆矩阵、伴随矩阵 分块矩阵：分块对角矩阵，简单分块矩阵的求逆
关于矩阵的乘法AB,注意 当A的列数与B的行数相同时 才可以相乘，而且矩阵乘法 不满足交换律，消去律，即 AB=AC时，不一定有B=C, AB=0时，不一定有A=0,或B=O0, 但是当A为方阵且可逆时，若AB=AC,AB=O 则有B=C,B=0, (AB)=BA,(A+B)=4+B 逆矩阵，注意 (AB)=B'4,(A+B)≠+B
关于矩阵的乘法AB，注意 当A的列数与B的行数相同时 才可以相乘，而且矩阵乘法 不满足交换律，消去律，即 AB=AC时，不一定有B=C， AB=0时，不一定有A=0，或B=0， 但是当A为方阵且可逆时，若AB=AC，AB=0， 则有B=C，B=0， ( ) ,( ) T T T T T T AB B A A B A B = + = + 逆矩阵，注意 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 AB B A A B A B , − − − − − − = + +
。例1：若n阶矩阵A的行列式为 A=2求： 3A1-AA44)1-3A 解：因为数3乘以A相当于用3去乘 A的所有元素，3A的行列式3A是每 行含有公因子3，共提出n个3，所以： 3A=3”A=3”×2同理一A=(一1)2×2 A=2,A可逆， 喝4守安'同
⚫ 例1：若n阶矩阵A的行列式为 A = 2 求： 1 1 * 3 , , , (4 ) 3 A A A A A − − − − 解：因为数3乘以A相当于用3去乘 A的所有元素，3A的行列式 是每 行含有公因子3，共提出n个3，所以： 3A 3 3 3 2 n n A A = = 同理 ( 1) 2 A n − = − A A = 2， 可 逆， 1 1 * * 1 1 1 1 1 2 n n n A A A A A A A A − − = = = = =
-44r -r 例2：设A为n阶可逆矩阵，求(A) (A)=(04A) A A
( ) ( ) 1 * 1 1 1 1 1 4 3 3 4 1 23 23 6 4 4 2 4 n n n A A A A A A A − − − − − − = − − − = − = = 例 2：设A为 n阶可逆矩阵，求 ( ) 1 * A − 解： ( ) ( ) 1 * * 1 1 1 * 1 1 A A A A A A A A A A A − − − − − = = = =