吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 16-2-3 §3 逆矩阵

4)若A可逆，则也可逆， 且(AT一1=(A)T 证明： (A(A-)=(A-A) ET-E, 所以(A)1=(A)

4) 若A可逆，则 A T 也可逆， . 且（ T ）－1 （ −1 ）T A = A T 1 T 1 T A (A ) (A A) − − （ ） = , T = E = E T 1 1 T ( ) − − （A ） = A 证明： 所以

注1：当4≠0时，k为正 整数，入，u为整数，有 1)40=E 2)Ak=(A-1)4 3)A=+州 4)(A)“=A4 2:当4≠O时A为可逆矩阵，也称为非奇异 矩阵， 当=0时，A为不可逆矩阵，也称为奇异矩 阵

注1：当 |A| ≠ 0 时，k为正 整数，λ，μ为整数，有 1) A 0 = E k k 2) A (A ) − −1 =   + 3) A A = A 2:当A  0时， A为可逆矩阵，也称为非奇异 矩阵， A为不可逆矩阵，也称为奇异矩 阵. 4 ) ( Aλ ) μ = Aλμ 当 A = 0时

四.逆矩阵的应用 例1.解矩阵方程 日图 解：设 -88 则上式变成： AXB=C

四. 逆矩阵的应用 例1. 解矩阵方程           =                  1 0 0 1 1 0 5 3 2 1 X 0 0 1 0 1 2 1 2 3 , 0 0 1 0 1 2 1 2 3           A = , 5 3 2 1 B         =           = 1 0 0 1 1 0 C 解：设 则上式变成: AXB = C

因为A=1≠0，B=1≠0 所以A1,B均存在，且 于是X=ACB

所以A −1 ,B −1 均存在，且, 0 0 1 0 1 2 1 2 1 1           − − = − A         − − = − 5 2 3 1 1 B 1 1 X − − 于是 = A CB           − − = 0 0 1 0 1 2 1 2 1         − − 5 2 3 1           1 0 0 1 1 0 因为A =1 0, B =1 0

例2.设 0 -2 0 且B=(E+A(E-A) 求(E+B)-1

        − −           − − = 5 2 3 1 1 0 2 1 2 2           − − − = 3 1 11 4 16 6 例2. 设 , 0 0 6 7 0 4 5 0 2 3 0 0 1 0 0 0               − − − A = ( ) ( ) 1 B = E + A E − A 且 − 求（ E + B ）－1