因此D≠0，从而R(B)≥ ri+kri 当AB,分三种情况讨论： ①D中不含有第行； ②D,中同时含有第行和第j行； ③D中含有第行，但不含有第j行 对①和②两种情况，显然B中与D对应的子 式D,=D≠0，故R(B)≥r:
因此 Dr 0 ，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ 当 ，分三种情况讨论： ①Ｄｒ中不含有第 i行; ②Ｄｒ中同时含有第 i行和第 j 行; ③Ｄｒ中含有第 i行，但不含有第 j 行. 对①和 ②两种情况，显然Ｂ 中与Ｄｒ对应的子 式 Dr = Dr 0 ，故Ｒ（Ｂ）≥ｒ； ~ i j r kr A B +
对于③，由 历- +kr,=D,+kD. 若D≠0，则因D, 中不含有第行，可知A中 有不含第行的r非零子式，从而R(B)≥r;若 D,=0,则D=D≠0，故也有R(B)≥r
对于③，由 r i j i j Dr kDr D = r + k r = r + k r = + 若 0 , Dr Dr = 0 则因 Dr 中不含有第 i行，可知Ａ中 有不含第 i行的ｒ阶非零子式，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ；若 ,则Dr = Dr 0 ，故也有Ｒ（B）≥ｒ
以上证明了若A经过一次初等行变换为B,则 R(A)≤R(B),由于B亦可经过一次初等行变换 变为A.故也有R(B)≤R(A),因此R(A) R(B) 经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次 初等行变换时，矩阵的秩依然不变。 同理可证：A经过有限次初等列变换，变成矩阵B, 则有R(A)=R(B). 总之，若A经过有限次初等变换变为矩阵B,则有 R(A)=R(B)
以上证明了若Ａ经过一次初等行变换为Ｂ， 则 Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ），由于Ｂ亦可经过一次初等行变换 变为Ａ．故也有Ｒ（Ｂ）≤Ｒ（Ａ）．因此Ｒ（Ａ）＝ Ｒ（Ｂ）。 经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次 初等行变换时，矩阵的秩依然不变。 同理可证：Ａ经过有限次初等列变换，变成矩阵Ｂ， 则有 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）． 总之，若Ａ经过有限次初等变换变为矩阵Ｂ，则有 Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．
如在例1中，我们已经计算 023 的秩为2，将A施行初等变换得 显然，R(B)=2,故RA)=R(B) 通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可
如在例1中，我们已经计算 的秩为2，将A施行初等变换得 1 2 3 0 1 11 0 1 11 A − − − − 1 2 3 0 1 11 0 0 0 B − − = 显然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。 通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。 1 2 3 2 3 5 4 7 1 = − A
三、求秩。 ●例2设 73 2 0 5 3 -2 3 A= 2 求矩阵A的秩.并求A的一个最高阶的非零子式
三、求秩． ⚫ 例２ 设 − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A 求矩阵Ａ的秩．并求Ａ的一个最高阶的非零子式