复习1、初等变换 2、用初等变换求矩阵的秩 设 -2 2 -4 2 A- -2 3 3 -6 求R(A)和R(Ab)
复习 1、初等变换 2、用初等变换求矩阵的秩 设 1 2 2 1 2 4 8 0 , 2 4 2 3 3 6 0 6 A= − − − − − − − 1 2 . 3 4 b = 求R(A)和R(A┆b)
§3 线性方程组的解 一、线性方程组解的存在性 定理2n元齐次线性方程组Am×x三0有非零 解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(4) n 证明：先证必要条件.设方程组Ax=0有非 零解。（用反证法）假设R(A)=n,则在A中 应有一个n阶非零子式Dn,从而Dn所对应的n个 方程只有零解（根据Cramer法则）。这与方程组 有非零解相矛盾。因此R(A)=不能成立。故 有R(A)<n
§3 线性方程组的解 ⚫ 一、线性方程组解的存在性- 定理2 n元齐次线性方程组 Am×nx = 0有非零 解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) ＜ n. 证明：先证必要条件．设方程组Ａx＝０有非 零解。（用反证法）假设Ｒ（Ａ）＝n，则在Ａ中 应有一个 n 阶非零子式Ｄn，从而Ｄn所对应的 n个 方程只有零解（根据Ｃramer法则）。这与方程组 有非零解相矛盾。因此Ｒ（Ａ）＝n不能成立。故 有Ｒ（Ａ）＜n．
再证充分性。设R(A)=r<,则A的行阶梯 形矩阵只含有r个非零行，从而知：其有一个自由未 知量。任取一个自由未知量为1，其余的未知量都为 零，即可得到方程组的一个非零解
再证充分性。设Ｒ（Ａ）＝r＜n，则Ａ的行阶梯 形矩阵只含有r个非零行，从而知：其有n－r个自由未 知量。任取一个自由未知量为 1 ，其余的未知量都为 零，即可得到方程组的一个非零解
定理3n元非齐次方程组Ax三b有解的充分 必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B三(A,b) 的秩。 证明 必要性。设方程组Ax=b有解，要证 R(A)=R(B)。(反证法)设R(A)<R(B),则B的行阶 梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，这 与方程组有解矛盾。因此(A)=R(B)
定理３ n元非齐次方程组Ａx＝ｂ有解的充分 必要条件是系数矩阵Ａ的秩等于增广矩阵Ｂ＝(Ａ,ｂ) 的秩。 证明 必要性。设方程组Ａx＝ｂ有解，要证 R(A) = R(B)。（反证法）设R(A) ＜ R(B), 则 B的行阶 梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 = 1，这 与方程组有解矛盾。因此R(A) = R(B)
充分性。证明方程组有解。设R(A)=R(B)=r(), 把B化为行阶梯形矩阵，则B的行阶梯形矩阵中含·个非 零行。把这个非零行的第一个非零元素所对应的未知量 作为非自由的未知量，其余一r个作为自由未知量，并 令n一r个自由未知量全取零。即可得方程组的一个解。 注意：1)当R4)=R(B)=n时，方程组没有自由未知 量，故只有唯一解。 2)当RA)=R(B)=Kn时，方程组有n一r个 自由未知量，故有无穷多解
充分性。证明方程组有解。设R(A) = R(B) = r (r≤n) , 把B化为行阶梯形矩阵，则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非 零行。把这 r个非零行的第一个非零元素所对应的未知量 作为非自由的未知量，其余 n－ r 个作为自由未知量，并 令 n－ r 个自由未知量全取零。即可得方程组的一个解。 注意：1）当 R(A) = R(B) = n 时，方程组没有自由未知 量，故只有唯一解。 2）当 R(A) = R(B) = r< n时，方程组有 n－ r 个 自由未知量，故有无穷多解