《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第五节 两个随机变量函数的分布

概率论与教理统计一般情形设（X,Y)是二维离散型随机变量,其联合分布列为P[X =a,Y =b,}= Puj, (i=1,2,..;j =1,2,..)则 Z=g(X,Y）是一维的离散型随机变量其分布列为P[Z =g(a,b,))= Pij, (i =1,2,..;j =1,2,..)

一般情形 设 ( , ) X Y 是二维离散型随机变量,其联合分布列为 P X a Y b p i j       i j i j , , ( 1,2, ; 1,2, )  则 Z g X Y  ( , ) 是一维的离散型随机变量 其分布列为 P Z g a b p i j      ( , ) , ( 1,2, ; 1,2, ) i j i j 

概率论与教理统计例 3 设(X,Y的联合分布列为Y-2-11X00.20.10.3010.30.1分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列

例 3 设 ( , ) X Y 的联合分布列为 Y X -2 -1 1 0 0.2 0.1 0.3 1 0.3 0 0.1 分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的 分布列

概率论与数理统计解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格(1,-1)(1,1)(0,1)(1,-2)(0,-2)(0,-1)(X,Y)概率00.20.10.30.30.1-102-21-1X+Y21-1320X-Y0-3-1-3-2-4X +Y-21

解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格 (0,-2) (0,-1) (0,1) (1,-2) (1,-1) (1,1) 概率 0.2 0.1 0.3 0.3 0 0.1 -2 -1 1 -1 0 2 2 1 -1 3 2 0 -4 -3 -1 -3 -2 0 ( , ) X Y X Y X Y 2 X Y 2

概率论与教理统计解行得所求的各分布列为X+Y12-2-10概率00.20.4 0.30.1X-Y0123-1概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-2-10-4-3概率00.20.40.30.1

解 得所求的各分布列为 X+Y -2 -1 0 1 2 概率 0.2 0.4 0 0.3 0.1 X-Y -1 0 1 2 3 概率 0.3 0.1 0.1 0.2 0.3 X2+Y-2 -4 -3 -2 -1 0 概率 0.2 0.4 0 0.3 0.1

连续型情形概率论与教理统计例4 设X和Y的联合密度为f(x,y),求 Z=X+Y的概率密度。y解 Z=X+Y的分布函数是：F,(z)= P(z≤z)= P(X+Y≤z)JJ f(x, y)dxdyx+y=zD这里积分区域 D={(x,y): x+y ≤z)它是直线x+y=z及其左下方的半平面

例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.   D f (x, y)dxdy 这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 解 Z=X+Y的分布函数是:     F z P Z z Z      P X Y z   它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面. x y z   y 0 连续型情形