第七章多元函数积分学的时候，可以把%看成是常数，故原函数为，因此定积分的值为2x+1(α+y)dy=*.[y] +[y=x(1-0)+号-(12 = 02)= % 这是一个关于的函数，例5计算二重积分Jerdxdy，其中区域D是由=0，=1，=0,y=1所围成的D矩形.解因为D是矩形区域，且e+y=e*·e，所以Jer+rdrdy=f'da 'e*erdy =f'e'deydf'e"[e'Jde-f'e(e- 1)da =(e - 1)?我们还可以通过另一个截面来求曲顶柱体的体积，从而得到二重积分的另一个计算方法现过y轴上任一点yo做垂直于y轴的截面，得到一个以［α，b］为底、以曲面z=f(x，y）和平面y=yo的交线y=f(%，yo）为顶的曲边梯形（见图7-9），其面积为Q(yo)Yo)dxz-f(xy)-12=f(x,y)0-(x.y.)d0图7-9由yo的任意性可知，过轴上任一点的截面面积为Q(y)=(x，y)d，这是的函数利用已知截面面积的立体体积公式可知，曲顶柱体的体积是V=,o(n)dy-'['(, )da] dy(2)式（2)的右端称为先对x、后对y的二次积分，上述公式也记为V='["'(r, y)da] dy=f'dy J'f(x, y)dx·124
第一节二重积分的概念、计算和应用因此我们可以得到矩形区域上的二重积分的计算公式：(x, y)ddy =J'da J'f(x, y)dy =dyf(x, y)dx.D-[a, b]x[c, d]上式对f（%，）<0也成立例5也可以用另外一种次序的二次积分来计算，Je*rdxdy - I'dy f'ee' de - ferdye*df'e'[e*,dy -f'e(e - 1)dy =(e - 1)2.例6计算1=xy2dxdy，其中D=[0，1]×[1，2].1解f（，y）=xy2在D上连续，若先对积分后对积分，则有1-Jopdady=oda-fr[] ay-pay-[]--若先对积分后对积分，则有I upddy -fan umpdy []'d ad []2.X型区域上的二重积分若积分区域D可以用不等式((x,y)1 pi()≤y≤p2();a≤x≤b)来表示（见图7-10)，其中函数Φ（）、2（x）在区间【a，b】上连续，这样的区域称为X型区域，其区域特征为：穿过D内部且平行于轴的直线与D的边界最多相交于两点，yty=p2(x)yty=p2(x)y=g(x)y=pi(x).1aa(b)图7-10例7将下列区域（见图7-11)写成X型区域的表达式b:解（1）三角形斜边的方程为y=故区域的X型表达式为b0一%，0≤x（2）抛物线的方程为=x2，直线的方程为y=%，故区域的X型表达式为((x,)1x≤y≤x,0≤x≤)（3）上半圆的方程为y=/1-x，下半圆的方程为y=-/1-x，故区域的X型表125
第七章多元数积分学(1)/1-x2-Jx(3)4图7-11达式为((x,y)1-V1-x≤y≤/-，-1≤x≤1)（4）区域可以写成两个X型区域的和：D+D2.D,的边界曲线分别为y=，y=-x，x=0，α=1，则D，的X型表达式为((, ) 1-/x≤≤/x, 0≤x≤1)D,的边界曲线分别为=Vx，=-2，%=1，%=4，则D,的X型表达式为((x, )1-2≤≤x, 1≤x≤4)注把区域写成X型表达式时，一定注意把边界曲线写成是α的函数，同时注意边界曲线所在的上下位置：般地，若D是由=a，=b，=（x)，=2（）所围成的X型闭区域，求以D为底、以曲面z=f（，y）（（，）连续且非负）为顶的曲顶柱体的体积（见图7-12），垂直于×轴，可以过轴上的任一点做曲顶[z=f(x,y)柱体的截面，则截面面积是以【（），f(x,y)p2（）为底，以z=（x，）为顶的曲边梯形，其面积为、S(x)=f(x, y)dy.S(x)-fea)f(xjd)V.对应的立体体积为2（'s(x)dx = /V-f(x, y)dy](x该积分是先后次序的二次积分，也可图7-12以记作·126
第一节二重积分的概念、计算和应用92()f(x, y)dy.从而[(x, )ddy ='s(a)dx =,[(x, )dy] dx =daf(x, y)dy.(3)式（3）表明，将二重积分转化为先后次序的二次积分来计算，关键是确定二次积分中关于变量y的积分限，即确定区域D的X型表达式：如果区域是如图7-12所示的X型区域，在区域［a，b]上任意取定一点，并过此点做一条平行于轴的直线，顺着轴正向的方向看去，直线与边界曲线的第一个交点的纵坐标（）就是积分的下限，第二个交点的纵坐标2（）是积分的上限，这个关于变量的积分计算的结果是的函数，再对变量在区间【a，b]上做定积分即可，式(3)对f(，y)0也成立例8计算二次积分dxydy.解设S(x)=xydy，被积函数是关于、y的二元函数，积分变量是，则可以把%看成常数，被积函数的原函数为%y，则23[]--s(x) =x :~2于是 da Jexdy =,S(a) da=→,( -) da1a4+[(-g) (()]1014724注在计算第一个定积分xydy时，y是自变量，看成常数；而计算第二个定积分（3-x2)dx时，是积分变量，例9计算[xydo，其中D是由直线=1，=2及=所围成的闭区域D解如图7-13所示，把区域写成X型表达式，则有D=(x,)11≤≤x,1≤x≤2),所以[Jopda-U ] d - [号] d-(6-)[8--8例10计算/1+2-do，其中D是由直线=%，x=-1和y=1所围成的闭区域.解如图7-14所示，把D写成X型表达式，即D=(x,y)lx≤y≤l,-1≤x,127
第七章多元函数积分学图7-1图7-则y?dg:y+x?-yd[1+-)'d(1 ×/3 - 1)dx = -1)d23.Y型区域上的二重积分设积分区域D可以用不等式((x,y)l(y)≤x≤2(y),c≤y≤d)来表示（见图7-15），其中函数(y）、中2(y）在区间［c，d】上连续，这样的区域称为Y型区域，穿过D内部且平行于轴的直线与D的边界最多相交于两点ytax=Wi(y)x=yi(y)x=w2(y)x-W(y)x.o图7-15若D是由y=c，y=d，=(y），x=2(y）所围成的Y型区域，类似于X型区域上的曲顶柱体所围体积求法，以D为积分区域，以二元函数z=f（，2）为被各函数的二重积分的值等于一个先对后对的二次积分（见图7-16），即'ody='[a, da] dIf(x, y) dxdy = Jf(x,y)dx(例11计算二重积分xyda，其中D是由抛物线y2=及直线y=%~2所围成的闭区域，解首先求抛物线y?=%及直线y=%-2的交点，即解方程组%=x-2,解得交点坐标为（1，1）和（4，2）·128