第二节单调函数的结构 若∫在x的左、右极限都存在,但其 左、右方跳跃度不全为0即f(x2+0) f(xo-0)f(x)不全相等),则称x为f 的第一类不连续点,若f的不连续点 不是第一类的,则称为第二类不连续 点
第二节 单调函数的结构 若 f 在 的左、右极限都存在，但其 左、右方跳跃度不全为 0 (即 不全相等)，则称 为 f 的第一类不连续点，若 f 的不连续点 不是第一类的，则称为第二类不连续 点。 ( 0) f x0 + 0 x ( 0), ( ) 0 0 f x − f x 0 x
第二节单调函数的结构 定理1设∫是[an,b上的单调递增函数, 则∫具有下列性质: (1)f的不连续点全是第一类的; (2)∫的不连续点集至多可数; (3)f在不连续点的左、右方跳跃度都是 非负的,并且所有跳跃度的总和不超过 f(b)-f(ao
定理1 设 f 是 [a, b] 上的单调递增函数， 则 f 具有下列性质： (1) f 的不连续点全是第一类的； (2) f 的不连续点集至多可数； (3) f 在不连续点的左、右方跳跃度都是 非负的，并且所有跳跃度的总和不超过 。 第二节 单调函数的结构 f (b) − f (a)
第二节单调函数的结构 证明:(1)首先证明,对任意x∈[a,b) f(x+0在。事实上,由于a≤x<b 故存在N,当n>N时,x0+∈[ab)由 1 单调性得f(x0+-)≥f(x)且{f(x0+-)1 是单调下降的序列,故mf(x0+-)存 n→) 1 在,且lf(x0+-)≥f(x)。 n→O
证明：(1) 首先证明，对任意 存在。事实上，由于 ， 故存在 N，当 时， ，由 单调性得 且 是单调下降的序列，故 存 在，且 。 第二节 单调函数的结构 [ , ) x0 a b ( 0) f x0 + a x0 b n N [ , ) 1 0 a b n x + ) ( ) 1 ( 0 0 f x n f x + 0 + =1 )} 1 { ( n n f x ) 1 lim ( 0 n f x n + → ) ( ) 1 lim ( 0 0 f x n f x n + →