同样,开区间上的连续函数即使有界,也不一定能取到它的最大 (小)值。例如,f(x)=x在(0,1)上连续而且有界,因而有上、下确界 a=inf{f(x)x∈(0,1)}=0, β=sup{f(x)x∈(0,1)}=1, 但是f(x)在区间(0.,)上取不到a=0与B=1
同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大 （小）值。例如， f x x ( ) = 在(0,1)上连续而且有界，因而有上、下确界 = inf { f x( ) | x(0,1)} = 0， = sup { f x( ) | x(0,1)} = 1， 但是 f (x) 在区间(0,1)上取不到 = 0与 =1
零点存在定理 定理3.4.3若函数f(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)·f(b)<0,则 定存在 使f(2)=0。 证不失一般性,设f(a)<0,f(b)>0,定义集合V: x|f(x)<0,x∈[ab]}。 集合V有界,非空,所以必有上确界。令 5=sup v, 现证ξ∈(a,b),且f(5)=0 由于∫(x)连续,f(a)<0,38>0,x∈[a,a+a1:f(x)<0;再由f(b)>0, 3a2>0,x∈(b-62b]:f(x)>0。于是可知 a+δ1≤5≤b- 即ξ∈(a,b)
零点存在定理 定理3.4.3 若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f a f b ( ) ( ) 0 ，则一 定存在 (a,b)，使 f ( ) 0 = 。 证 不失一般性，设 f a( ) 0 ， f b( ) 0 ，定义集合V： V = { x f x x a b ( ) 0, [ , ] }。 集合V 有界，非空，所以必有上确界。令 = supV ， 现证 (a,b)，且 f ( ) 0 = 。 由于 f (x) 连续，f a( ) 0 ， 1 0， 1 + x a a [ , ] ：f x( ) 0 ；再由 f b( ) 0 ， 2 0， x 2 ( , ] b b − ： f x( ) 0 。于是可知 1 a + 2 b − ， 即 (a,b)
取x∈V(n=1,2,…),x→5(n→>∞),因f(x,)<0,得到 f()=limf(xn)≤0。 n→0 若f(2)<0,由f(x)在点ξ的连续性,彐δ>0,Mx∈O,δ) f(x)<0, 这就与E=sup产生矛盾。于是必然有 f(5)=0 证毕
取 ( 1,2, ) n x V n = ， n x → （n→ ∞），因 ( ) 0 n f x ，得到 ( ) lim ( ) 0 n n f f x → = 。 若 f ( ) 0 ，由 f (x) 在点 的连续性， 0， x O( , ) ： f x( ) 0 ， 这就与 = supV 产生矛盾。于是必然有 f ( ) 0 = 。 证毕
例3.4.1讨论多项式p(x)=2x3-3x2-3x+2零点的位置。 解 0 p(x) 20 p(x)的三个零点(或根)分别落在区间(-2,0),(0,1)与,3)内。事实上, p(x)=2(x+Xx-2x-2),它的三个零点为x=1,x2=2,x=2
例3.4.1 讨论多项式 3 2 p x x x x ( ) 2 3 3 2 = − − + 零点的位置。 解 x -2 0 1 3 p x( ) -20 2 -2 20 p x( )的三个零点（或根）分别落在区间( 2,0) − ,(0,1)与(1,3)内。事实上， 1 ( ) 2( 1)( )( 2) 2 p x x x x = + − − ，它的三个零点为 x1 = −1， x2 = 1 2 ， x3 = 2
例34.2设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a,b) c[a,b,则存在∈[a,b,f(5)=5(这样的称为f(x)的一个不动点。) 证设g(x)=f(x)-x,则g(x)在[a,b上连续,由f(a,b]) [a,b],可知g(a)≥0,g(b)≤0。 若g(a)=0,则有5=a;若g(b)=0,则有ξ=b;若g(a)>0,g(b)<0, 则由定理3.4.3,必存在∈(a,b),使得g(2)=0,即f(2)=5 本例中闭区间[a,b不能改为开区间。例如f(x)=在开区间(0,1)上连续, 且f(0,1)c(0,1),但f(x)在开区间(0,1)中没有不动点
例3.4.2 设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f ([a,b]) [a,b]，则存在 [a,b]，f ( ) = （这样的 称为 f (x) 的一个不动点。） 证 设 g x f x x ( ) ( ) = − ，则 g x( )在[a,b]上连续，由 f a b ([ , ]) [a,b]，可知 g a( ) 0 ， g b( ) 0 。 若 g a( ) 0 = ，则有 = a ；若 g b( ) 0 = ，则有 = b；若 g a( ) 0 ，g b( ) 0 ， 则由定理3.4.3，必存在 (a,b)，使得 g( ) 0 = ，即 f ( ) = 。 本例中闭区间[a,b]不能改为开区间。例如 ( ) 2 x f x = 在开区间(0,1)上连续， 且 f ((0,1)) (0,1) ，但 f x( ) 在开区间 (0,1) 中没有不动点