例如：对约束条件是等式的LP问题max z=CXs.t. AX=bX≥0由于AX<bAX=bAX≥b即AX≤bAX=b-AX≤-b所以，原问题可化为max z=CX(AX≤bs.t.-AX≤-bX≥0
由于 AX≤b AX≥b 即 AX=b AX=b AX≤b -AX≤-b 所以，原问题可化为 max z=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0 • 例如：对约束条件是等式的LP问题 max z=CX s.t. AX=b X≥0
设Y'：AX<b的对偶变量（行向量）Y"：-AX<-b的对偶变量（行向量）按对称形式的对偶关系可得出原问题的对偶问题如下：（Y'-Y"）b(Yb=bTYT)min w =Y'b-Y"b=（YA=ATYT)s.t (Y'A-Y"A>CY≥0,Y"≥0令Y=Y'-Y"，则对偶问题为min w =Ybs.t[YA>CY符号不限结论：原问题中约束条件为等式，对应的对偶变量无非负要求；反过来同样成立
设Y' ：AX≤b的对偶变量（行向量） Y''：-AX≤-b的对偶变量（行向量） 按对称形式的对偶关系可得出原问题的对偶问题如下： min w =Y'b-Y''b= （Y'-Y''）b （Yb=bTYT） s.t Y'A-Y''A≥C （ YA=ATYT） Y'≥0，Y''≥0 令Y= Y'-Y''，则对偶问题为 min w =Yb s.t YA≥C Y符号不限 结论：原问题中约束条件为等式，对应的对偶变量无 非负要求；反过来同样成立
「例3求下列原问题的对偶问题z=4xi+5x2max3x,+ 2x2≤204x1- 3x2≥10s. t.Xi+ X2= 5（X1≥0，X2符号不限解：首先将原问题化成对称形式，令x2=X3-X4X3≥0，X4≥0，原问题化为z=4xi+5x3-5x4max3x1+2x3-2x4≤20-4x1+3x3-3x4≤-10Xi+ X3-X4≤5s. t.-Xi- X3+ X4 ≤-5X1，X3，X4≥0
[例3]求下列原问题的对偶问题： max z=4x1+5x2 3x1+ 2x2≤20 s.t. 4x1- 3x2≥10 x1+ x2 = 5 x1 ≥0, x2 符号不限 解：首先将原问题化成对称形式，令x2=x3-x4， x3≥0，x4≥0，原问题化为 max z=4x1+5x3-5x4 3x1+2x3-2x4 ≤20 -4x1+3x3-3x4 ≤-10 s.t. x1+ x3–x4 ≤5 -x1- x3+ x4 ≤-5 x1 ，x3 ，x4 ≥0
将对称形式线性规划问题化为对偶问题如下：: Min W =20Wi-10W2+5W3-5W4s.t. 3W1-4W2+W3-W4≥42Wi+3W2+W3-W4≥5?-2W1-3W2-W3+W4≥-5Wi, W2, W3, W4≥0③x-1，得2Wi+3W2+W3-W4≤ 5令yi-W1,Y2-W2，Y3-W3-W4，得Min W =20y1-10y2+5y3s.t. 3y1-4y2+y3 ≥42y1+3y2+y3 =5Y1，y2≥0,y3符号不限
• Min W =20w1 -10w2+5w3 -5w4 s.t. 3w1 -4w2+w3 -w4≥4 2w1+3w2+w3 -w4≥5 -2w1 -3w2 -w3+w4≥-5 ③ w1，w2，w3，w4≥0 ③ x-1，得2w1+3w2+w3 -w4≤ 5 令y1=w1，y2=w2，y3=w3 -w4，得 • Min W =20y1 -10y2+5y3 s.t. 3y1 -4y2+y3 ≥4 2y1+3y2+y3 =5 y1，y2≥0 ,y3符号不限 将对称形式线性规划问题化为对偶问题如下：
表3一3：原规划与对偶规划的对应关系表原（对偶）规划对偶（原）规划目标目标min f max zm个m个约束变量≥0≤≤0≥自由=n个n个变量约束≥0≥≤0≤自由=限制向量b价值向量C价值向量C限制向量b系数矩阵A系数矩阵AT
表３－3：原规划与对偶规划的对应关系表 原（对偶）规划 对偶（原）规划 目标 max z min f 目标 约束 m个 ≤ ≥ = m个 ≥ 0 ≤ 0 自由 变量 变量 n个 ≥ 0 ≤ 0 自由 n个 ≥ ≤ = 约束 限制向量b 价值向量C 系数矩阵A 价值向量C 限制向量b 系数矩阵AT