例：证明：当 (X,Y)~N(4,2,o1,o,p) 时，X和Y相互独立的充分必要条件为p=0 证明：当 (X,Y)~,有4,42,，o,p) X~N(4,o),Y~N(42,o2) 即 14 f)=26 e2,0<x<+0 _(0y-4)2 )= e2o,-00<y<+00 √202 故 fx (x)f(y)= 1 兰 05 2024年8月27日星期二 2元0182 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 例：证明：当 时,X 和Y 相互独立的充分必要条件为ρ=0. 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , , , , ) X Y N 证明：当 ，有 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , , , , ) X Y N 2 2 1 1 2 2 X N Y N ( , ) ( , ) ， 即 2 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) e , 2π x X f x x − − = − + 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) e , 2π y Y f y y − − = − + 故 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) [ ] 2 1 2 1 ( ) ( ) e 2π x y X Y f x f y − − − + =
又 1-4-2p-4)0y)+0 f(x,0= e 21-p2 0102 2π002V1-p2 故当p=O时，fx(x)f,(y)=f(x,y)即X和Y相互独立。 反之，当X和Y相互独立时，对所有的x和y,有 fx(x)f(y)=f(x,y) 特别地，令x=4,y=4 1 1 得到 2πo102V1-p22π0，o2 从而p=0。 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回○
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 又 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2(1 ) 2 1 2 1 ( , ) e 2π 1 x x y y f x y − − − − − − + − = − 故当ρ=0时， ( ) ( ) ( , ) X Y f x f y f x y = 即X 和Y相互独立。 反之，当X 和Y相互独立时，对所有的x和y，有 ( ) ( ) ( , ) X Y f x f y f x y = 特别地，令 1 2 x y = = , 得到 2 1 2 1 2 1 1 2π 1 2π = − 从而ρ=0