《高等代数》课程教学资源（习题解答，北大版）第五章 二次型

北大版《高等代数》 1 1 =万 22 可得二次型的规范形为 ∫=+好-号- (2)在复数域上，若作非退化线性替换 2 5=方 1 25 可得二次型的规范形为 ∫=++行+ (5)已求得二次型 fx1,X2,X3,x4）=xx2+x1x3+xx4+x23+x2x4+x3x4 的标准形为 =-+巧-子 且非退化线性替换为 =男+% 5=-%+h-⅓-2 5= x4=y4 (1)在实数域上，若作非退化线性替换

北大版《高等代数》 11              = = = = 4 1 3 3 2 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 y z y z y z y z 可得二次型的规范形为 2 2 2 3 2 2 2 1 f = z + z − z − z （2）在复数域上，若作非退化线性替换              = = = = 4 4 3 3 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 y z z i y y z z i y 可得二次型的规范形为 2 2 2 3 2 2 2 1 f = z + z + z + z （5）已求得二次型 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 = x x + x x + x x + x x + x x + x x 的标准形为 2 4 2 3 2 2 2 1 4 3 f = −y + y − y − y 且非退化线性替换为            = = − = − + − − = + − − 4 4 3 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 x y x y y x y y y y x y y y y （1） 在实数域上，若作非退化线性替换

北大版《高等代数》 [月=22 h=1 =3 可得二次型的规范形为 f=2-乃-好 (2)在复数域上，若作非退化线性替换 y=i 2=2 =在 2 可得二次型的规范形为 ∫=++号+ 6)已求得二次型 f31,x2,x3,x4)=x2+2x+x+4x12+4x1x3+2x1x4 +2x2x3+2x2x4+2x3x 的标准形为 f=-2+ 且非退化线性替换为 x1=y-2y2+y3-y x2=y2-与y+y x3=y3-y4 x4=y4 (1)在实数域上，若作非退化线性替换 y1=23 1 为=V2 可得二次型的规范形为 f=2-

北大版《高等代数》 12          = = = = 4 4 3 3 2 1 1 2 3 2 y z y z y z y z 可得二次型的规范形为 2 4 2 3 2 2 2 1 f = z − z − z − z （2） 在复数域上，若作非退化线性替换          = = = = 4 4 3 3 2 2 1 1 3 2 y iz y iz y z y iz 可得二次型的规范形为 2 4 2 3 2 2 2 1 f = z + z + z + z 6）已求得二次型 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 4 2 2 2 = x1 + 2x + x + 4x x + 4x x + 2x x 2 2 3 2 2 4 2 3 4 + x x + x x + x x 的标准形为 2 3 2 2 2 1 2 1 f = −y − 2y + y 且非退化线性替换为          = = − = − + = − + − 4 4 3 3 4 2 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 2 x y x y y x y y y x y y y y （1）在实数域上，若作非退化线性替换          = = = = 4 4 3 1 2 3 1 2 2 2 1 y z y z y z y z 可得二次型的规范形为 2 3 2 2 2 1 f = z − z − z

北大版《高等代数》 (2)在复数域上，若作非退化线性替换 y=正， 乃= y4=24 可得二次型的规范形为 f=++ 7)已求得二次型 f2)=x+2x++4xx2+4xx+2xx +2x+2x+2x 的标准形为 ∫-++y-y 且非退化线性替换为 x=y x2=2-4 x3=-+4 x4=片+y-y4 (1)在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 f=+片+巧-好 (2)在复数域上，若作非退化线性替换 y= =2 y3=3 4=E 可得二次型的规范形为 f=7+子++ 2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和。 证由题设知A-A'且rak(4A)=r,于是存在可逆矩阵C使 C'AC=D 且D为对角阵，又因为C',C,(C)=(C少均为可逆矩阵，所以有 CAC=D+D2++D

北大版《高等代数》 13 （2）在复数域上，若作非退化线性替换          = = = = 4 4 3 3 2 2 1 1 2 2 y z y z z i y y iz 可得二次型的规范形为 2 3 2 2 2 1 f = z + z + z 7）已求得二次型 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 4 2 2 2 = x1 + 2x + x + 4x x + 4x x + 2x x 2 2 3 2 2 4 2 3 4 + x x + x x + x x 的标准形为 2 4 2 2 2 2 2 1 f = y + y + y − y 且非退化线性替换为        = + − = − + = − = 4 1 3 4 3 1 4 2 2 4 1 1 x y y y x y y x y y x y （1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 2 4 2 2 2 2 2 1 f = y + y + y − y （2） 在复数域上，若作非退化线性替换        = = = = 4 4 3 3 2 2 1 1 y iz y z y z y z 可得二次型的规范形为 2 4 2 3 2 2 2 1 f = z + z + z + z 2．证明：秩等于 r 的对称矩阵可以表成 r 个秩等于 1 的对称矩阵之和。 证 由题设知 A = A 且 rank(A) = r ，于是存在可逆矩阵 C 使 CAC = D 且 D 为对角阵，又因为 ( ) ( ) 1 1 1 , , − − − =   C C C C 均为可逆矩阵，所以有 C AC = D + D + + Dr  1 2 

北大版《高等代数》 其中 于是 4=(C'(D,+D2++D- =(C-DC-+C-)D.c-++C-)D.C- amkc-jD,c-=1=2,） [(c-)D.c-(c)D.c-(c)D.C 即(C-)D,C一都是对称矩阵，故A可表成r个秩为1的对称矩阵之和。 3.证明： 合同，其中2.in是1,2.，n的一个排列。 证题中两个矩阵分别设为A,B,与它们相应的二次型分别为 ∫4=x+入2x+.+x2 ∫n=元，++.+.y2 作非退化的线性替换 y=X =l,2,.,n) 则∫可化成∫。故A与B合同。 14

北大版《高等代数》 14 其中                       =                 =               = 0 0 0 0 , , 0 0 0 , 0 0 2 2 1 1      Dr dr d D d D 于是 ( ) ( ) 1 1 2 −1 − A = C D + D ++ Dr C ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 −1 − − − − −  + +  +  = C D C C D C  C DrC 因 ( ) 1 1 1  =       − − rank C DiC (i =1,2,  ,r) 且 ( ) ( ) ( ) −1 −1 −1 −1 −1 −1  =  =         C DiC C DiC C DiC 即 ( ) −1 −1  C DiC 都是对称矩阵，故 A 可表成 r 个秩为 1 的对称矩阵之和。 3．证明：               n    2 1 与               n i i i     2 1 合同，其中 n i i i 1 2 是 1,2,  ,n 的一个排列。 证 题中两个矩阵分别设为 A, B ，与它们相应的二次型分别为 2 2 2 2 2 A 1 1 n n f =  x +  x ++  x 2 2 2 2 B i1 1 i2 i n f y y y n =  +  ++  作非退化的线性替换 t t i y = x (t =1,2,  ,n) 则 B f 可化成 A f 。故 A 与 B 合同