《高等代数》课程教学资源（习题解答，北大版）第五章 二次型

北大版《高等代数》 =++%+水-(+-月 再作非退化线性替换 51=y 2=+++y4 5=为+2 4=y4 y=3 1 y=4 则原二次型的标准形为 fxx)=-+-号-} 且非退化线性替换为 =5+- x2=-1+22-224 1 =5-24 x4=4 相应的替换矩阵为 1-1- T= 001-2 0001 且有 (-100 0 010 0 T'AT= 00-1 0 00 3 4 6

北大版《高等代数》 6 ( ) 2 1 2 4 2 3 4 2 1 2 3 4 4 3 2 1 y y y y y y  − y − y      = + + + − + 再作非退化线性替换          = = + = + + + = 4 4 3 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 1 z y z y y z y y y y z y 即          = = − = − + − − = 4 4 3 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 1 2 1 y z y z z y z z z z y z 则原二次型的标准形为 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 2 4 2 3 2 2 2 1 4 3 = −z + z − z − z 且非退化线性替换为            = = − = − + − − = + − − 4 4 3 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 x z x z z x z z z z x z z z z 相应的替换矩阵为                   − − − − − − = 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 T 且有               − − −  = 4 3 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 T AT

北大版《高等代数》 (6)已知 f,x2,x3,x)=x+2x+x+4x2+4xx3+2xx4 +2x2x3+2x2x+2x3x4 由配方法可得 fk,x2,x3x)=K+2x(2x2+2x3+x)+2x2+2x3+x月 -(2x2+2x3+x2+2x号+x+2x2x3+2x2x,+2xx 于是可令 以=x+2x2+2x+x4 =++ y3=X3+x4 y=x 则原二次型的标准形为 =-2明+ 且非退化线性替换为 x1=-2y2+3- 5=-3+ 3=为-4 x4=y4 故替换矩阵为 1-21-1 T= 001 -1 0001 且有 (1000 TAT= 0-200 00 10 006o (7)已知 f,x2,3x4)=x2+x号+x号+x+2xx2+2x2+2xx

北大版《高等代数》 7 （6）已知 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 4 2 2 2 = x1 + 2x + x + 4x x + 4x x + 2x x 2 2 3 2 2 4 2 3 4 + x x + x x + x x 由配方法可得 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x  ( ) ( )  2 1 2 3 4 2 3 4 2 = x1 + 2x 2x + 2x + x + 2x + 2x + x ( ) 2 3 2 4 3 4 2 4 2 2 2 − 2x2 + 2x3 + x4 + 2x + x + 2x x + 2x x + 2x x ( ) ( ) 2 3 4 2 2 3 4 2 1 2 3 4 2 1 2 1 2 3 x 2x 2x x 2 x x x  + x + x      = + + + − + + 于是可令          = = + = + + = + + + 4 4 3 3 4 2 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 2 2 y x y x x y x x x y x x x x 则原二次型的标准形为 2 3 2 2 2 1 2 1 f = y − 2y + y 且非退化线性替换为          = = − = − + = − + − 4 4 3 3 4 2 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 2 x y x y y x y y y x y y y y 故替换矩阵为               − − − − = 0 0 0 1 0 0 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 1 T 且有               −  = 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 T AT （7）已知 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 2 3 3 4 2 4 2 3 2 2 2 = x1 + x + x + x + 2x x + 2x x + 2x x

北大版《高等代数》 由配方法可得 f,x2,x,x)=3+2x(1+x3)+(k+x3-2xx3+2xx+x =(k,+x2+x3)2-2xx3++2xx4+x）-x =6+x2+x}++x}-2xx-x号-x+x =x+(k1+x2+x尸+(63+x尸-(6+x3)月 于是可令 = 2=x1+x2+x3 3=x3+x4 y4=x1+3 则原二次型的标准形为 f=+y吃+y-y好 且非退化线性替换为 [x=y x2=y2-y4 x3=-月+y =y+y3-y4 相应的替换矩阵为 1000 T= 010-1 -1001 101-1 且有 1000 TAT= 0100 0010 000-1J (Ⅱ)把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形：并写出所作的非 退化线性替换。 解1)已求得二次型 fx1,x2,x3)=-4xx2+2x3+2x2x 的标准形为 f=-+4y3+3y

北大版《高等代数》 8 由配方法可得 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x  ( ) ( )  2 1 3 3 4 4 2 2 1 3 1 3 2 = x2 + 2x x + x + x + x − 2x x + 2x x + x ( ) ( ) 2 3 2 3 4 4 2 1 3 3 2 = x1 + x2 + x3 − 2x x + x + 2x x + x − x ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 3 3 2 3 4 2 = x1 + x2 + x3 + x + x − 2x x − x − x + x ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 3 4 2 1 2 3 2 1 = x + x + x + x + x + x − x + x 于是可令        = + = + = + + = 4 1 3 3 3 4 2 1 2 3 1 1 y x x y x x y x x x y x 则原二次型的标准形为 2 4 2 2 2 2 2 1 f = y + y + y − y 且非退化线性替换为        = + − = − + = − = 4 1 3 4 3 1 4 2 2 4 1 1 x y y y x y y x y y x y 相应的替换矩阵为               − − − = 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 T 且有               −  = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 T AT （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非 退化线性替换。 解 1）已求得二次型 ( ) 1 2 3 f x , x , x 4 1 2 2 1 3 2 2 3 = − x x + x x + x x 的标准形为 2 3 2 2 2 f = −y1 + 4y + 3y

北大版《高等代数》 且非退化线性替换为 1 =2++2” 5=为 (1)在实数域上，若作非退化线性替换 =3 为=222 y3= 可得二次型的规范形为 f=+对-好 (2)在复数域上，若作非退化线性替换 =E =a 可得二次型的规范形为 ∫=++ 2)己求得二次型 f,x2,x)=+2xx2+2x+4xx+4x 的标准形为 f=+ 且非退化线性替换为 x1=y-y2+2y3 x3=2-2y x3=3 故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 ∫=+ 3)已求得二次型 fx1,x2x3)=x-3x-2xx2+2xx1-6x2x1 的标准形为

北大版《高等代数》 9 且非退化线性替换为          = = − + = + + 3 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x y x y y y x y y y （1） 在实数域上，若作非退化线性替换        = = = 3 1 2 2 1 3 2 1 y z y z y z 可得二次型的规范形为 2 3 2 2 2 1 f = z + z − z （2） 在复数域上，若作非退化线性替换        = = = 3 1 2 2 1 1 2 1 y z y z y iz 可得二次型的规范形为 2 3 2 2 2 1 f = z + z + z 2）已求得二次型 ( ) 1 2 3 f x , x , x 2 2 3 3 2 1 2 2 2 = x1 + 2x x + 2x + 4x x + 4x 的标准形为 2 2 2 1 f = y + y 且非退化线性替换为      = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 x y x y y x y y y 故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 2 2 2 1 f = y + y 3）已求得二次型 ( ) 1 2 3 f x , x , x 1 2 1 3 2 3 2 2 2 = x1 − 3x − 2x x + 2x x − 6x x 的标准形为

北大版《高等代数》 ∫=片-贤 且非退化线性替换为 =男+ X3=y3 (1)在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 f=-好 (2)在复数域上，若作非退化线性替换 (y== 2=2 为=53 可得二次型的规范形为 f=2+ (3)已求得二次型 f,x2,x3,x4)=8x2+2x3x4+2x2x3+8x2x4 的标准形为 f=-2y2+2y-2y+8y 且非退化线性替换为 3 x3=2+ x3=2-3 .=-+y (1)在实数域上，若作非退化线性替换

北大版《高等代数》 10 2 2 2 1 f = y − y 且非退化线性替换为          = = − = + − 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 x y x y y x y y y （1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 2 2 2 1 f = y − y （2） 在复数域上，若作非退化线性替换      = = = 3 3 2 2 1 1 y z y iz y z 可得二次型的规范形为 2 2 2 1 f = z + z （3） 已求得二次型 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 8 1 2 2 3 4 2 2 3 8 2 4 = x x + x x + x x + x x 的标准形为 2 4 2 3 2 2 2 f = −2y1 + 2y − 2y + 8y 且非退化线性替换为          = − + = − = + = − − + 4 1 4 3 2 3 2 2 3 1 1 2 3 4 2 1 4 3 4 5 2 1 x y y x y y x y y x y y y y （1） 在实数域上，若作非退化线性替换