第二章随机变量及其概率分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解随机变量的概念 2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质 3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质 4、理解分布函数的概念,并知道其性质; 5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率; 6、会求简单的随机变量函数的概率分布 7、了解二维随机变量的概念,知道二维随机变量的边缘(边际)分布、 联合分布函数等概念; 8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质,进一 步掌握其边缘分布与联合分布的关系,并会计算有关事件的概率 了解二维连续型随机变量独立性的概念 本章重点】随机变量的概念;连续型(离散型)随机变量的密度函数(分布律)的 概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质;二维随机变量的边缘分 布、联合分布函数等概念;随机变量函数的概率分布以及二维随机变量 独立性的概念。 【本章难点】随机变量的概念及性质;连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的 性质与相关计算;二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以 及独立性的概念 【授课内容及学时分配】 §2.1隨机变量的概念 在第一章里,我们主要研究了随机事件及其概率,同学们可能会注意到在随机现 象中,有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如,在产品检验问题 中,我们关心的是抽样中出现的废品数;在车间供电问题中,我们关心的是某时期正 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 1 第二章 随机变量及其概率分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解随机变量的概念； 2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质； 3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质； 4、理解分布函数的概念，并知道其性质； 5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率； 6、会求简单的随机变量函数的概率分布； 7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘（边际）分布、 联合分布函数等概念； 8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质，进一 步掌握其边缘分布与联合分布的关系，并会计算有关事件的概率； 了解二维连续型随机变量独立性的概念。 【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的 概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；二维随机变量的边缘分 布、联合分布函数等概念；随机变量函数的概率分布以及二维随机变量 独立性的概念。 【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的 性质与相关计算；二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以 及独立性的概念。 【授课内容及学时分配】 §2.1 随机变量的概念 在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，同学们可能会注意到在随机现 象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如，在产品检验问题 中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期正
在工作的车床数;在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现 象,其试验结果显然可以用数值来描述,并且随着试验的结果不同而取不同的数值 然而,有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述。比如,在投 硬币问题中,每次实验出现的结果为正面或反面,与数值没有联系,但我们可以通过 指定数“1”代表正面,“0”代表反面,为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算 其中“1”出现的次数了,从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。 般地,如果A为某个随机事件,则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生 1A发生 联系:1,=(04不发生 这就说明了,不管随机试验的结果是否具有数量的性质,我们都可以建立一个样 本空间和实数空间的对应关系,使之与数值发生联系 为了全面的研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,我们将随机试验 的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念。 引例:随机试验E1:从一个装有编号为0,1,2,…,9的球的袋中任意摸一球。 则其样本空间Ω={,ω1,…,O},其中o,“摸到编号为i的球”,i=0,1,,9 定义函数:O,→i,即ξ(a,)=,=0,1,…,9 这就是Ω和整数集{0,1,2,…,9}的一个对应关系,此时表示摸到球的号码。 从上例中,我们不难体会到: ①对应关系ξ的取值是随机的,也就是说,在试验之前,ξ取什么值不能确定, 而是由随机试验的可能结果决定的,但的所有可能取值是事先可以预言的。 ②5是定义在Ω上而取值在R上的函数 同时在上例中,我们可以用集合{a,:5(0,)≤5}表示“摸到球的号数不大于5” 这一随机事件,因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间Ω上的单值实函 数ξ为随机变量。这就有了如下定义: 定义:设随机试验E的样本空间为9={o},5=(0)是定义在Ω上的单值实函数, 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
2 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现 象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。 然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。比如，在投 硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过 指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算 n 次投掷中出现的正面就只须计算 其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。 一般地，如果 A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生 联系： = 不发生 发生 A A A 0 1 1 这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样 本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系。 为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验 的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。 引例：随机试验 E1：从一个装有编号为 0，1，2，…，9 的球的袋中任意摸一球。 则其样本空间 ={ 0 ，1，…，9 }，其中 i “摸到编号为 i 的球”， i =0,1,…,9. 定义函数 ： i → i ，即 ( i )= i ，i =0，1，…，9。 这就是 和整数集{0，1，2，…，9}的一个对应关系，此时 表示摸到球的号码。 从上例中，我们不难体会到： ①对应关系 的取值是随机的，也就是说，在试验之前， 取什么值不能确定， 而是由随机试验的可能结果决定的，但 的所有可能取值是事先可以预言的。 ② 是定义在 上而取值在 R 上的函数。 同时在上例中，我们可以用集合{ i： ( i ) 5}表示“摸到球的号数不大于 5” 这一随机事件，因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间 上的单值实函 数 为随机变量。这就有了如下定义： 定义：设随机试验 E 的样本空间为 = {}， = ( )是定义在 上的单值实函数
若对任意实数x,集合{o:(o)≤x}是随机事件,则称=5(o)为随机变量( Random Variable)。 定义表明随机变量=5(O)是样本点的函数,为方便起见,通常写为ξ,而集 合{o:5()≤x}简记为{5≤x}。 如在上例中,摸到不大于5号球的事件可表示为{≤5},则其概率为 P{5≤5}=3/5。 随机变量的引入,使概率论的硏究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机 现象的研究。正因为随机变量可以描述各种随机事件,使我们摆脱只是孤立的去研究 个随机事件,而通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究其全部。今后,我 们主要研究随机变量和它的分布。 §2.2随机变量的概率分布 对于随机变量来讲,我们不仅关心它取哪些值,更关心它以多大的概率取那些值, 即研究随机变量的统计规律性一分布函数。 随机变量的分布函数 由前可知,若ξ是随机变量,则对x∈R,{≤x}是随机事件,所以P{ξ≤x}有 意义。当实数a<b时,有:P{a<≤b}=P{≤b}-P{≤a} 可见,只要对一切实数x给出概率P{≤x},则任何事件{a<5≤b}及它们的可列 交、可列并的概率都可求得。从而P{ξ≤x},x∈R完全刻划了随机变量ξ的统计规律, 并决定了随机变量ξ的一切概率特征 1.定义:设ξ是Ω上的随机变量,对vx∈R, 在其内的抵率 称F(x)=P{≤x}为2的分布函数 2性质:设F(x)是随机变量ξ的分布函数,则F(x)具有如下性质 ①单调非降性:即对ⅵx<x2∈R,F(x1)≤F(x2) 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布3
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 3 若对任意实数 x ，集合{ ： ( ) x}是随机事件，则称 = ( )为随机变量（Random Variable）。 定义表明随机变量 = ( )是样本点 的函数，为方便起见，通常写为 ，而集 合{ ： ( ) x}简记为{ x}。 如在上例中，摸到不大于 5 号球的事件可 表示为{ 5}，则其概率为 P{ 5}=3/5。 随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机 现象的研究。正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究 一个随机事件，而通过随机变量将各个事件联系起来，进而去研究其全部。今后，我 们主要研究随机变量和它的分布。 §2.2 随机变量的概率分布 对于随机变量来讲，我们不仅关心它取哪些值，更关心它以多大的概率取那些值， 即研究随机变量的统计规律性—分布函数。 一、随机变量的分布函数 由前可知，若 是随机变量，则对 x R，{ x}是随机事件，所以 P{ x}有 意义。当实数 a<b 时，有：P{a< b}=P{ b}-P{ a} 可见，只要对一切实数 x 给出概率 P{ x}，则任何事件{a< b}及它们的可列 交、可列并的概率都可求得。从而 P{ x}，x R 完全刻划了随机变量 的统计规律， 并决定了随机变量 的一切概率特征。 1.定义：设 是 上的随机变量，对 x R， 称 F(x) = P{ x}为 的分布函数。 2.性质：设 F(x) 是随机变量 的分布函数，则 F(x) 具有如下性质： ①单调非降性：即对 x1 x2 R， ( ) ( ) 1 2 F x F x
Pw0:对x1<x2,有{≤x}c{≤x2},则 F(x1)=P{≤x1}≤P{5≤x2}=F(x2) ②规范性:F(-∞)=lmF(x)=0,F(+∞)=lF(x)=1, ③右连续性:对x0∈R,有lF(x)=F(x) (性质②,③的证明可参考其它有关的资料) 注:反之可证明:对于任意一个函数,若满足上述三条性质的话,则它一定是 某随机变量的分布函数。 例I:判断下列函数是否为分布函数 F(x)={snx0≤x<x/2(√)F2(x)={cosx0≤x<x(×) > 由定义可见,要计算ξ取值的概率可以通过其分布函数来实现。为了研究随机变 量ξ的概率分布,我们常选择F(x)来代替之。 3运算:若a<b∈R,5~F(x)则有: P{a<ξ≤b}=F(b)-F(a) PS<a=lim F(x)=F(a-O) →a P{=a}=P{≤a}-P{<a}=F(a)-F(a-0) P{>a}=1-F(a) P{2≥a}=1-F(a-0) P{a≤≤b}=F(b)-F(a-0) P{a≤ξ<b}=F(b-0)-F(a-0) P{a<ξ<b}=F(b-0)-F(a) 例2:已知5的分布函数为 /20≤x<1 F(x)=231≤x<2 11/122≤x<3 x≥3 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布
4 概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 Proof：对 1 2 x x ，有 { } { } 1 2 x x ，则 ( ) { } { } ( ) 1 1 2 2 F x = P x P x = F x ②规范性： (−) = lim ( ) = 0, (+) = lim ( ) = 1 →− →+ F F x F F x x x ， ③右连续性：对 , x0 R 有 lim ( ) ( ) 0 0 F x F x x x = → + （性质②，③的证明可参考其它有关的资料） 注：反之可证明：对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它一定是 某随机变量的分布函数。 例 1：判断下列函数是否为分布函数 = 1 / 2 sin 0 / 2 0 0 ( ) 1 x x x x F x （√） = x x x x F x 1 cos 0 0 0 ( ) 2 （×） 由定义可见，要计算 取值的概率可以通过其分布函数来实现。为了研究随机变 量 的概率分布，我们常选择 F(x) 来代替之。 3.运算：若 a bR， ~ F(x) 则有： { } ( ) ( ) { } lim ( ) ( 0) ˆ { } { } { } ( ) ( 0) { } 1 ( ) { } 1 ( 0) { } ( ) ( 0) { } ( 0) ( 0) { } ( 0) ( ) x a P a b F b F a P a F x F a P a P a P a F a F a P a F a P a F a P a b F b F a P a b F b F a P a b F b F a → − = − = = − = = − = − − = − = − − = − − = − − − = − − 例 2：已知 的分布函数为 = 1 3 11/12 2 3 2 / 3 1 2 / 2 0 1 0 0 ( ) x x x x x x F x
求P{≤3},P{=},P{>12},P{2<5<4}。 解 P{≤3}=F(3)=1 P{=1}=F(1)-F(1-0)=2/3-1/2=1/6 P{>1/2}=1-P{≤l/2}=1-F(1/2)=1-1/4=3/4 P{2<5<4}=P{5<4}-P{5≤2}=F(4-0)-F(2)=1-11/12=1/12 例3:设某随机变量的分布函数为F(x)=A+ Arctan x,试确定A,B的值。 F(oo)=lm F(x)=lim(A+Arctan x)=A-T/2B=0 解:由 F(+oo)=lm F(x)=lim(A+ Arctan x)=A+T/2B=l 得A=1/2,B=1/丌 例4:设:的分布函数为 ≤0 F(x)={Ax20<x≤1确定A并求P03<5<07} x>1 解:由右连续性知lmF(x)=1,而F(1)=A12,∴A=1 即F(x)=x20<x≤1 则P0.3<207}=F(0.7-0)-F(03)=0.72-0.32=04 例5:设某随机变量的分布函数为 F(x)=A+Arcsin(x/2)-a<xsa (a>0) 求 0=F(a)=lim F(x)=lim(4+B arcsin(x/a)=A+ Barcsin(-1)=A-T 解:由 1= lim F(x)=F(a)=A+Arcsin(x/a)=A+B A=1/x,B=1/2 概率论与数理统计教案 第二章随机事件及其概率分布5
概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布 5 求 P{ 3},P{ =1},P{ 1/ 2},P{2 4}。 解： {2 4} { 4} { 2} (4 0) (2) 1 11/12 1/12 { 1/ 2} 1 { 1/ 2} 1 (1/ 2) 1 1/ 4 3/ 4 { 1} (1) (1 0) 2 / 3 1/ 2 1/ 6 { 3} (3) 1 = − = − − = − = = − = − = − = = = − − = − = = = P P P F F P P F P F F P F 例 3：设某随机变量的分布函数为 F(x) = A + Barctan x ，试确定 A，B 的值。 解：由 ( ) lim ( ) lim ( arctan ) / 2 1 ( ) lim ( ) lim ( arctan ) / 2 0 + = = + = + = − = = + = − = →+ →+ →− →− F F x A B x A B F F x A B x A B x x x x 得 A = 1/ 2,B = 1/ 例 4：设 的分布函数为 = 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 x Ax x x F x 确定 A 并求 P{0.3 0.7} 解：由右连续性知 lim ( ) 1 1 = → + F x x ，而 2 F(1) = A1 ， A = 1 即 ( ) ,0 1 2 F x = x x 则 {0.3 0.7} (0.7 0) (0.3) 0.7 0.3 0.4 2 2 P = F − − F = − = 例 5：设某随机变量的分布函数为 + − − = x a A B x a x a x a F x 1 arcsin( / 2) 0 ( ) （a>0） 求 A，B。 解：由 = = = + = + = − = = + = + − = − → + →− + →− + F x F a A B x a A B F a F x A B x a A B A B x a x a x a 2 1 lim ( ) ( ) arcsin( / ) 2 0 ( ) lim ( ) lim ( arcsin( / ) arcsin( 1) A = 1/,B = 1/ 2