相似矩阵的定义及性质 定义:设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得 PAP=B 则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵, 或称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B 对A进行运算PAP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把矩阵A变成矩阵B的相似变换矩阵。 注:矩阵相似是一种等价关系 (1)反身性:A~A (2)对称性:若A~B则B~A (3)传递性:若A~B,B~C,则A~C
1 二. 相似矩阵的定义及性质 定义: 设 A B, 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P ，使得 1 P AP B − = 则称矩阵 B 是矩阵 A 的相似矩阵， 对 A 进行运算 P AP －1 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： A A. （2）对称性：若 A B 则 B A. （3）传递性：若 A B B C , , 则 A C
性质1:相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩 推论:若矩阵A,、与对角阵A 12 相似, 则,2,…,λn是A的n个特征值
2 性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩 推论：若矩阵 A n n 与对角阵 相似， 1 2 n = 则 1 2 , , , n 是 A 的 n 个特征值
其它的有关相似矩阵的性质:(介绍) (1)相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆。 当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。 (2)若A与B相似,则kA与kB相似。(k为正整数) (3)若A与B相似,则Am与Bm相似。(m为正整数) (4)若A与B相似,而f(x)是一个多项式, 则∫(A)与∫(B)相似 6P(44)P=(P4P)(P42) (6)P(K A,+k242)P=k, P-A, P+k P-lAP (k1,k2为任意常数)
3 (1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 其它的有关相似矩阵的性质：（介绍） (3) 若 A 与 B 相似，则 A m 与 B m 相似。（ m 为正整数） ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 P A A P P A P P A P . − − − (5) = ( ) 1 1 1 P k A k A P k P A P k P A P 1 1 2 2 1 1 2 2 − − − (6) + = + （k k 1 2 , 为任意常数） (2) 若 A 与 B 相似，则 kA 与 kB 相似。（ k 为正整数） (4) 若 A 与 B 相似，而 f x( ) 是一个多项式， 则 f A( ) 与 f B( ) 相似
注:(1)与单位矩阵相似的m阶矩阵只有单位阵E本身, 与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本 书p136例5.,2.1 (2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似 矩阵可对角化的条件(利用相似变换把方阵对角化) 对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P 使得P1AP=A为对角阵,就称为把方阵A对角化
4 （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。 注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身， 与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本。 书p136 例5.2.1 三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵 P ， 使得 P AP −1 = 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化
定理1:n阶矩阵A可对角化(与对角阵相似) 令A有n个线性无关的特征向量 推论:若n阶方阵A有n个互不相同的特征值, 则A可对角化。(与对角阵相似)(逆命题不成立) 注:(1)若A~A,则A的主对角元素即为A的特征值, 如果不计见的排列顺序,则A唯一,称之为 矩阵A的相似标准形。 (2)可逆矩阵P由A的n个线性无关的特征向量 作列向量构成
5 定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似） A 有 n 个线性无关的特征向量。 （2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量 作列向量构成。 P A n (逆命题不成立) 推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 可对角化。（与对角阵相似） 注：（1）若 A , 则 的主对角元素即为 A 的特征值， 矩阵 A 的相似标准形。 k 如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为