第八章假设检验 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解显著性检验的基本思想,掌握显著性检验基本步骤和可能产生的两类错 2、掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验; 3、知道总体分布假设的x2检验法。 【本章重点】单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 【本章难点】两个正态总体的均值和方差的假设检验;总体分布假设的x2检验法 【授课内容及学时分配】 §8.1假设检验的基本思 假设检验是统计推断的另一类问题。在总体的分布函数完全未知,或只知其形式但不知 其参数的形式的情况下,为了推断总体的某些性质,提出了关于总体的某些假设。 、显著性检验的基本思想 为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断,首先对它们提出一个假设H,称 为原假设,同时给出其对立假设H1。为判断H正确还是H1正确,需要对总体进行抽样,然 后在H为真的条件下,通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件,若在一次试验中,小 概率事件居然发生了,就完全有理由拒绝H的正确性,否则没有充分理由拒绝H的正确性 从而接受H,这就是假设检验的基本思想。 怎样检验一个统计假设呢!下面结合例子来说明假设检验的基本思想和做法: 引例设总体x服从正态分布N(μ1),其中仅包含一个未知参数,即数学期望μ,欲要 求检验统计假设H:μ=0? 【分析】:在这里,总体X的分布函数形式是已知的,为正态分布N(H,1),其中仅含 个未知参数μ,同时也提出了一个统计假设Hμ=0。所以它是一个参数的显著性检验问题。 怎样判断这一统计假设H(μ=0)的正确性呢?首先需要对总体进行一定次数的观察,获 得数据,也就是说抽取样本。设我们从该总体中抽取了一个容量为10的简单随机样本,其观 察值记为(x1,x2…,x0),样本来自总体,反映了总体的分布规律,因此样本中必然包含关于
1 第八章 假设检验 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】6 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解显著性检验的基本思想，掌握显著性检验基本步骤和可能产生的两类错 误； 2、掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验； 3、知道总体分布假设的 2 检验法。 【本章重点】单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 【本章难点】两个正态总体的均值和方差的假设检验；总体分布假设的 2 检验法。 【授课内容及学时分配】 §8.1 假设检验的基本思想 假设检验是统计推断的另一类问题。在总体的分布函数完全未知，或只知其形式但不知 其参数的形式的情况下，为了推断总体的某些性质，提出了关于总体的某些假设。 一、显著性检验的基本思想 为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断，首先对它们提出一个假设 H0 ，称 为原假设，同时给出其对立假设 H1 。为判断 H0 正确还是 H1 正确，需要对总体进行抽样，然 后在 H0 为真的条件下，通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件，若在一次试验中，小 概率事件居然发生了，就完全有理由拒绝 H0 的正确性，否则没有充分理由拒绝 H0 的正确性， 从而接受 H0 ，这就是假设检验的基本思想。 怎样检验一个统计假设呢！下面结合例子来说明假设检验的基本思想和做法： 引例：设总体 X 服从正态分布 N( ,1) ，其中仅包含一个未知参数，即数学期望 ，欲要 求检验统计假设 0 H : 0 = ？ 【分析】：在这里，总体 X 的分布函数形式是已知的，为正态分布 N( ,1) ，其中仅含一 个未知参数 ，同时也提出了一个统计假设 0 H : 0 = 。所以它是一个参数的显著性检验问题。 怎样判断这一统计假设 0 H ( 0) = 的正确性呢？首先需要对总体进行一定次数的观察，获 得数据，也就是说抽取样本。设我们从该总体中抽取了一个容量为 10 的简单随机样本，其观 察值记为 1 2 10 ( , , , ) x x x ，样本来自总体，反映了总体的分布规律，因此样本中必然包含关于
未知参数μ的信息。但是要从样本中直接推断统计假设是否成立是困难的,还必需对样本进 行加工,把样本中包含的关于未知参数μ的信息集中起来,也就是说要构造一个适用于检验 假设H的统计量。这里μ是总体的均值,上一章已经看到,样本均值X是μ的一个无偏估计, 且x比样本的每个分量x,更集中的分布在总体均值μ的周围,如果假设H0(μ=0)是真的,则 样本均值ξ的观察值应较集中在0点附近,否则就应有偏离0点的趋势。这表明样本均值ξ 较好的集中了样本中所包含的关于μ的信息。因此利用x构造判断统计假设H0(μ=0)的方法 是合适的。 若从样本观察值计算得到x=1.01,那对假设H。(μ=0)的正确性能作出怎样的判断呢? 当假设H=0)成立时,x服从于N0D分布,由抽样分布知~N0.),因而 Px>101}=P√01010}≈21-(305别)000,这表明:如果假设H成立,那么 事件{>101实际上不大可能出现,即若在1009中,大约仅有两次使我们所观察到的样 本均值大于101。现在可否根据事件{x>101的概率很小这一理由而证实H0不成立呢?当 然不能。因为在假设H成立的条件下,事件{>101的概率虽很小,但这个事件仍可能出 现。显然我们也不能作肯定H的结论。但现在必须从“拒绝”和“接受”中选择一个较为合 理的判断作为我们的决定。一般它可以这样处理:给定一个临界概率α,如果在假设H成立 的条件下,出现观察到的事件{>对的概率小于等于a,就作拒绝假设H0的决定。一般应 取α为一个较小的数,这是因为我们给出假设H是经过细致的调查和考察的,所以对假设H 需加以保护,也就是说拒绝它应当慎重。根据小概率事件在一次试验(观察)中不可能发生 的实际推断原理,如果出现了这事件我们就有理由怀疑H不真,因为它超出了在H成立条 件下能以随机波动来解释的范围,因而作出拒绝H0的判断 、假设检验的基本步骤 1.由实际问题提出原假设H。(与备选假设H1); 2.选取适当的统计量,并在H为真的条件下确定该统计量的分布; 3.根据问题的要求确定显著性水平α(一般题目中会给定),从而得到拒绝域 4.由样本观测值计算统计量的观测值,看是否属于拒绝域,从而对H。作出判断。 两类错误 尚需指出,虽然在假设H为真时,发生作出拒绝H这一错误判断的概率很小,它小于 等于α,但这一错误还是可以发生的。在统计学上,当H。本来是正确的,但检验后作出了拒 绝H的判断,这种错误称为第一类错误,也称拒真错误。所以显著水平α是用来控制犯第
2 未知参数 的信息。但是要从样本中直接推断统计假设是否成立是困难的，还必需对样本进 行加工，把样本中包含的关于未知参数 的信息集中起来，也就是说要构造一个适用于检验 假设 H0 的统计量。这里 是总体的均值，上一章已经看到，样本均值 X 是 的一个无偏估计， 且 X 比样本的每个分量 Xi 更集中的分布在总体均值 的周围，如果假设 0 H ( 0) = 是真的，则 样本均值 X 的观察值应较集中在 0 点附近，否则就应有偏离 0 点的趋势。这表明样本均值 X 较好的集中了样本中所包含的关于 的信息。因此利用 X 构造判断统计假设 0 H ( 0) = 的方法 是合适的。 若从样本观察值计算得到 x =1.01 ，那对假设 0 H ( 0) = 的正确性能作出怎样的判断呢？ 当假设 0 H ( 0) = 成立时， X 服从于 N(0,1) 分布，由抽样分布知 1 X N ~ (0, ) n ，因而 P X P X { 1.01} { 10 1.01 10} 2[1 (3.05)] 0.002 = − ，这表明：如果假设 H0 成立，那么 事件 { 1.01} X 实际上不大可能出现，即若在 1000 次中，大约仅有两次使我们所观察到的样 本均值大于 1.01。现在可否根据事件 { 1.01} X 的概率很小这一理由而证实 H0 不成立呢？当 然不能。因为在假设 H0 成立的条件下，事件 { 1.01} X 的概率虽很小，但这个事件仍可能出 现。显然我们也不能作肯定 H0 的结论。但现在必须从“拒绝”和“接受”中选择一个较为合 理的判断作为我们的决定。一般它可以这样处理：给定一个临界概率 ，如果在假设 H0 成立 的条件下，出现观察到的事件 { } X x 的概率小于等于 ，就作拒绝假设 H0 的决定。一般应 取 为一个较小的数，这是因为我们给出假设 H0 是经过细致的调查和考察的，所以对假设 H0 需加以保护，也就是说拒绝它应当慎重。根据小概率事件在一次试验（观察）中不可能发生 的实际推断原理，如果出现了这事件我们就有理由怀疑 H0 不真，因为它超出了在 H0 成立条 件下能以随机波动来解释的范围，因而作出拒绝 H0 的判断。 二、假设检验的基本步骤 1.由实际问题提出原假设 H0 （与备选假设 H1 ）； 2.选取适当的统计量，并在 H0 为真的条件下确定该统计量的分布； 3.根据问题的要求确定显著性水平 （一般题目中会给定），从而得到拒绝域； 4.由样本观测值计算统计量的观测值，看是否属于拒绝域，从而对 H0 作出判断。 三、两类错误 尚需指出，虽然在假设 H0 为真时，发生作出拒绝 H0 这一错误判断的概率很小，它小于 等于 ，但这一错误还是可以发生的。在统计学上，当 H0 本来是正确的，但检验后作出了拒 绝 H0 的判断，这种错误称为第一类错误，也称拒真错误。所以显著水平 是用来控制犯第一
类错误的;同样,当H本来是不正确的,但检验后作出了接受H的判断,这种错误称为第 二类错误,也称受伪错误。对于给定的一对H和H,总可找出许多临界域,人们自然希望找 到这种临界域W,使得犯两类错误的概率都很小。奈曼一皮尔逊( Ne yman- Pearson)提出了 个原则:“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值α的条件下,尽量使犯第二类错误β 小”,按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,α称为显著性水平或检验水平。 §8.2參数的假设检验 我们这里仅介绍总体X的分布为正态分布时的几种显著性检验的方法。正态分布 (,2)含有两个参数和σ2,因此,这里的假设都是对这两个参数的假设。 U-检验:(在G2已知下,对μ进行检验) 设总体服从正态分布,在方差已知的条件下,若对期望进行检验,可用U-检验。 1.单总体U-检验: 设总体X~N(Ao2),其中。2已知,未知,(X1,X2…,Xn)为从X中抽取的一简单随 机样本 (1)双侧检验 要检验假设:H0:H=10,H1:≠0(双侧检验) 在前面的学习中我们知道,检验问题的关键是基于样本寻找一个合适的统计量,在这里 样本均值x很好地集中了样本中所包含的关于μ的信息。当假设H成立时,X的观察值x较 集中地分布在μ0的周围,否则就有偏离μ的趋势。所以X可以用来检验假设H。(μ=μ)。为 了查表方便,将标准化,从而统计量U=x万。在H(=以)为真时,U~N0D, 而当H0不真时,U服从均值不为0的N(…,1)分布,这表明当H不真时,的观察值有偏大 的趋势。所以对给定显著水平α,为使犯第二类错误的概率最小,查正态分布分位数表求出 μ-a/2使得 P h>-2}=P{U>u-2}+P{U<-u1n2}=1-(1-a/2)+a/2=a,然后将 样本观测值代入算出U的观察值u,并比较和μmn2,若>H-m2,则拒绝假设H0(=), 这样我们便得到了检验的拒绝域W={>H=2},即W={u>山-2或n<-A-m2}。否则接
3 2 2 类错误的；同样，当 H0 本来是不正确的，但检验后作出了接受 H0 的判断，这种错误称为第 二类错误，也称受伪错误。对于给定的一对 H0 和 H1 , 总可找出许多临界域,人们自然希望找 到这种临界域 W , 使得犯两类错误的概率都很小。奈曼—皮尔逊 (Neyman—Pearson)提出了 一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值 的条件下,尽量使犯第二类错误 小”，按这种法则做出的检验称为“显著性检验”, 称为显著性水平或检验水平。 §8.2 参数的假设检验 我们这里仅介绍总体 X 的分布为正态分布时的几种显著性检验的方法。正态分布 ( , ) 2 N 含有两个参数 和 2 ，因此，这里的假设都是对这两个参数的假设。 一、 U -检验：（在 2 已知下，对 进行检验） 设总体服从正态分布，在方差已知的条件下，若对期望进行检验，可用 U -检验。 1.单总体 U -检验： 设总体 ~ ( , ) 2 X N 0 ，其中 2 0 已知， 未知， ( , , , ) X1 X2 Xn 为从 X 中抽取的一简单随 机样本。 (1)双侧检验 要检验假设： 0 0 1 0 H : = , H : （双侧检验） 在前面的学习中我们知道，检验问题的关键是基于样本寻找一个合适的统计量，在这里 样本均值 X 很好地集中了样本中所包含的关于 的信息。当假设 H0 成立时， X 的观察值 x 较 集中地分布在 0 的周围，否则就有偏离 0 的趋势。所以 X 可以用来检验假设 0 0 H ( ) = 。为 了查表方便，将 X 标准化，从而统计量 0 0 X U n − = 。在 0 0 H ( ) = 为真时， U N ~ (0,1)， 而当 H0 不真时， U 服从均值不为 0 的 N( ,1) 分布，这表明当 H0 不真时， U 的观察值有偏大 的趋势。所以对给定显著水平 ，为使犯第二类错误的概率最小，查正态分布分位数表求出 1 / 2 − 使得 = + − = − − + = − { = 1− / 2 } { 1− / 2 } { 1− / 2 } 1 (1 / 2) / 2 0 0 n u P U u P U u X P U ，然后将 样本观测值代入算出 U 的观察值 u ，并比较 u 和 1 / 2 − ，若 1 / 2 u − ，则拒绝假设 0 0 H ( ) = ， 这样我们便得到了检验的拒绝域 { } W = u 1− / 2 ，即 { } W = u 1− / 2或u −1− / 2 。否则接
受假设H。。 例1:糖厂用自动包装机进行包糖,要求每袋0.5公斤,假定该机器包装重量 X~N(、00152),现从生产线上随机取九袋乘重得X=0.509,问该包装机生产是否正常? 解:由题意有包装机装糖重量X~N(、00152),要检验假设 H0:4=05,H1:≠0.5,由于2=00152已知,可用U-检验,取显著水平a=05,查表 得山-a2=0=19,而阿 9(0.509-0.5) 18<1.96没有落入拒绝域W内,所以由该 0.015 样本,还没有得到足够的理由来拒绝原假设H,故接受原假设,即生产正常 上述这种假设,其备择假设H1:μ≠μ表明期望值μ可能大于A0,也可能小于4,我们 称这种检验为双侧检验。这种检验对给定的显著性水平α,按照“使犯第二类错误的概率最 小”的原则所确定的拒绝域W={>山-an2或u<-1a2},是小于一个给定较小的数而大于 个给定较大数的所有数值的集合,该拒绝域不能用一个区间来表示 (2)单侧检验: 有时,我们只关心总体的期望是否增大,如产品的质量、材料的强度、元件的使用寿命 等是否随着工艺改革而比以前提高,此时需检验假设H。:μ≤山,H1:4>,还有一些问题, 如新工艺是否降低了产品中的次品数,此时要检验假设 H0:4≥4,H1:μ<,像这种备择假设H1:μ>A0(或μ<A)表示期望值只可能大于山 (或只能小于μ0),这种检验称为单侧检验。对于单侧检验,最终得到的拒绝域的形式又如 何呢?下面以假设H0:4≤40,H1:4>0为例给予讨论 当G2=2为已知时,仍用U-检验。统计量U=出只有当H1:>A成立时有 变大的趋势,因此,对于给定的显著性水平α,该检验的拒绝域应取为 W={u>1-a} 同理,对于假设H0:4≥1,H1:4<在给定的显著性水平a,该检验的拒绝域应取为 {<-H1-a} 例2:设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准,现从一大批产品中抽出12件试验 结果如下:5059,3897,3631,5050,7474,5077
4 受假设 H0。 例 1：糖厂用自动包装机进行包糖，要求每袋 0.5 公斤，假定该机器包装重量 ~ ( ,0.015 ) 2 X N ，现从生产线上随机取九袋乘重得 X = 0.509 ，问该包装机生产是否正常？ 解：由题意有包装机装糖重量 ~ ( ,0.015 ) 2 X N ，要检验假设 H0 : = 0.5 , H1 : 0.5 ，由于 2 2 0 = 0.015 已知，可用 U -检验，取显著水平 = 0.05 ，查表 得 1− / 2 = 0.975 =1.96 ，而 1.8 1.96 0.015 9(0.509 0.5) = − U = 没有落入拒绝域 W 内，所以由该 样本，还没有得到足够的理由来拒绝原假设 H0 ，故接受原假设，即生产正常。 上述这种假设，其备择假设 1 0 H : 表明期望值 可能大于 0 ，也可能小于 0 ，我们 称这种检验为双侧检验。这种检验对给定的显著性水平 ，按照“使犯第二类错误的概率最 小”的原则所确定的拒绝域 { } W = u 1− / 2或u −1− / 2 ，是小于一个给定较小的数而大于一 个给定较大数的所有数值的集合，该拒绝域不能用一个区间来表示。 (2)单侧检验： 有时，我们只关心总体的期望是否增大，如产品的质量、材料的强度、元件的使用寿命 等是否随着工艺改革而比以前提高，此时需检验假设 0 0 1 0 H : , H : ，还有一些问题， 如新工艺是否降低了产品中的次品数，此时要检验假设 0 0 1 0 H : , H : ，像这种备择假设 : ( ) H1 0 或 0 表示期望值只可能大于 0 （或只能小于 0 ），这种检验称为单侧检验。对于单侧检验，最终得到的拒绝域的形式又如 何呢？下面以假设 0 0 1 0 H : , H : 为例给予讨论： 当 2 0 2 = 为已知时，仍用 U -检验。统计量 n X U 0 0 − = 只有当 1 0 H : 成立时有 变大的趋势，因此，对于给定的显著性水平 ，该检验的拒绝域应取为 { } W = u 1− 。 同理，对于假设 0 0 1 0 H : , H : 在给定的显著性水平 ，该检验的拒绝域应取为 { } W = u −1− 。 例 2：设某电子产品平均寿命 5000 小时为达到标准，现从一大批产品中抽出 12 件试验 结果如下：5059，3897，3631，5050，7474，5077
4545,6279,3532,2773,7419,5116 假设该产品的寿命X~N(,1400),试问此批产品是否合格? 解:由题意可知该产品寿命X~N(山1400),要检验假设 H0:4≥500,01:μ<500,计算知x=4986,n=12,on=√1400,则 √2(4986-50002-1296,取a=005,查得A1n=A0=1645,拒绝域 400 W={u<-μ1a},而此时-1.296>-1.645,故可接受H0,即认为该批产品合格。 2.两总体U-检验: 实际工作中常常需要对两个正态总体进行比较,这种情况实际上就是两个正态总体参数 的假设检验问题。 设X~N(A,a12),y~N(2,o2),其中σ12,2已知,且X与y相互独立。 (X1,X2…,Xn),(H1,Y2,…,P2)分别为来自总体X与y的两个样本 对,H2检验下面的统计假设 H0:A1=42,H1:山≠2(双侧检验)域或H0A≤2,H1:1>42(单侧检验)},由抽 样分布中的定理知:XM、162),Y~N(2a2),又F与F独立,从而有 x-~N(1-42+02-)。当原假设H0成立时,统计量 X-Y ~N(O1),否则U有增大的趋势,故对给定的显著性水平a,为使犯第 G;/n1+σ, 二类错误的概率最小,取拒绝域W={>4=2} 例3:书P213例1 T一检验(在σ2未知下,对μ进行检验) 设总体服从正态分布,由前面我们知道:在方差已知的条件下,若对期望进行检验,可 用U-检验,但如果方差未知,对期望进行检验,可用T一检验 1.单总体T一检验: 设总体X~N(,02),山a2未知,(X1,X2…Xn)为随机样本,要检验假设:
5 4545，6279，3532，2773，7419，5116 假设该产品的寿命 X ~ N(,1400) ，试问此批产品是否合格？ 解：由题意可知该产品寿命 X ~ N(,1400) ，要检验假设 H0 : 5000 , H1 : 5000 ，计算知 x = 4986 , n =12 , 0 = 1400 ，则 1 296 1400 12 4986 5000 0 0 . ( ) n X U = − − = − = ，取 = 0.05 ，查得 1− = 0.95 =1.645 ，拒绝域 W {u } = −1− ，而此时-1.296>-1.645,故可接受 H0 ，即认为该批产品合格。 2.两总体 U -检验： 实际工作中常常需要对两个正态总体进行比较，这种情况实际上就是两个正态总体参数 的假设检验问题。 设 ~ ( , ) , ~ ( , ) 2 2 2 2 X N 1 1 Y N ，其中 2 2 2 1 , 已知，且 X 与 Y 相互独立。 ( , , , ) , ( , , , ) 1 2 n1 1 2 n2 X X X Y Y Y 分别为来自总体 X 与 Y 的两个样本。 对 1 2 , 检验下面的统计假设： 0 1 2 1 1 2 H : = , H : （双侧检验）{或 0 1 2 1 1 2 H : , H : （单侧检验）}，由抽 样 分 布 中 的定 理 知 ： ) 1 ) , ~ ( , 1 ~ ( , 2 2 2 2 2 1 1 1 n Y N n X N ， 又 X 与 Y 独 立 ， 从而 有 ~ ( , ) 2 2 2 1 2 1 1 2 n n X Y N − − + 。当原假设 H0 成立时，统计量 ~ (0,1) 2 2 1 2 2 1 N n n X Y U + − = ，否则 U 有增大的趋势，故对给定的显著性水平 ，为使犯第 二类错误的概率最小，取拒绝域 { } W = u 1− / 2 。 例 3：书 P213 例 1 二、 T —检验（在 2 未知下，对 进行检验） 设总体服从正态分布，由前面我们知道：在方差已知的条件下，若对期望进行检验，可 用 U -检验，但如果方差未知，对期望进行检验，可用 T —检验。 1.单总体 T —检验： 设总体 ~ ( , ) 2 X N ， 2 , 未知， ( , , ) X1 X2 Xn 为随机样本，要检验假设：