第四章线性方程组 高斯消元法 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
1 第四章 线性方程组 一. 高斯消元法 二. 齐次线性方程组 三. 非齐次线性方程组
高斯消元法 设一般线性方程组为 x1十a1,x 12 t ( x 11 211 22~2 十 ann amx t am2x2 t + a mn 1 12 n 则称矩阵A= 2n为方程组(系数矩阵 mI 2 2
2 一. 高斯消元法 设一般线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 为方程组(1)的系数矩阵
2 称矩阵B=(A,b)= 21 22 a2n b, m2 为方程组()的增广矩阵。 当b=0(=1,2,,m)时齐次线性方程组 11 CI 12 十a1x 211 22 +a X nn 00::0 十a…X m2+2 十 十ax mn 1 称为方程组(1)的导出组, 或称为(1)对应的齐次线性方程组
3 称矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ( , ) n n m m mn m a a a b a a a b B A b a a a a = = 为方程组(1)的增广矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = 时,齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + =
定义:线性方程组的初等变换 (1)用一非零的数乘某一方程 (2)把一个方程的倍数加到另一个方程 (3)互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换,实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 初等行变换 B=(A,b)
4 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 B A b = ⎯⎯→ ( , ) 初等行变换
12 1,r+1 1 0 s 22 Ir 2,r+1 2 化为行阶 梯形矩阵00 r,r+1 00 0 0 t r+1 00 0 00
5 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn rr s s s s s t s s s s t s s s tt +++ + ⎯⎯→ 化为行阶 梯形矩阵