《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第四章 几类重要的分布

第四章几类量要的分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8学时 授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解Bemo匝概型,熟练掌握二项分布、 Poisson分布 2、熟练掌握均匀分布、正态分布和指数分布及其性质; 3、熟记二项分布、泊松分布、均匀分布的数学期望和方差; 知道二维正态分布与均匀分布。 本章重点】熟练掌握 Bernoulli概型、二项分布、 Poisson分布、均匀分布、正态分布和 指数分布及其性质 【本章难点】对离散型与连续型随机变量的分布的理解 【授课内容及学时分配】 §4.0前言 在第二章中我们曾经研究了随机变量的分布,具体的研究了离散型随机变量的分布和连 续型随机变量的分布,并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布,其中二项分布、 Poisson分布、正态分布是概率论中三大重要的分布,因此,在本章中,我们重点研究二项 分布、 Poisson分布和正态分布,并在此基础上研究其它一些连续型分布。 §4.1二项分布 项分布是重要的离散型分布之一,它在理论上和应用上都占有很重要的地位,产生这 种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验 、泊努利分布[ Bernoulli distribution(两点分布、0-1分布) 1.泊努利试验 在许多实际问题中,我们感兴趣的是某事件A是否发生。例如在产品抽样检验中,关心 的是抽到正品还是废品;掷硬币时,关心的是出现正面还是反面,等。在这一类随机试验中, 只有两个基本事件A与A,这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验 为方便起见,在一次试验中,把出现A称为“成功”,出现A称为“失败” 通常记P()=p,P( 2.泊努利分布

1 第四章 几类重要的分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解 Bernoulli 概型，熟练掌握二项分布、Poisson 分布； 2、熟练掌握均匀分布、正态分布和指数分布及其性质； 3、熟记二项分布、泊松分布、均匀分布的数学期望和方差； 4、知道二维正态分布与均匀分布。 【本章重点】熟练掌握 Bernoulli 概型、二项分布、Poisson 分布、均匀分布、正态分布和 指数分布及其性质 【本章难点】对离散型与连续型随机变量的分布的理解 【授课内容及学时分配】 §4.0 前 言 在第二章中我们曾经研究了随机变量的分布，具体的研究了离散型随机变量的分布和连 续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、 Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布，因此，在本章中，我们重点研究二项 分布、Poisson 分布和正态分布，并在此基础上研究其它一些连续型分布。 §4.1 二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这 种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 一、泊努利分布[Bernoulli distribution] (两点分布、0-1 分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件 A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心 的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中， 只有两个基本事件 A 与 A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现 A 称为“成功”，出现 A 称为“失败” 通常记 P(A) = p, P(A) = 1− p = q 。 2．泊努利分布

定义:在一次试验中,设P(A)=p,P(A)=q=1-p,若以记事件A发生的次数,则 q p 称5服从参数为p(0<p<1)的 Berno分布或两点分布,记为:5~B(,p) 二、二项分布[ Binomial distribution 把一重 Bernau试验E独立地重复地进行n次得到n重 Berno试验。 【注】:重复是指每次试验中成功的概率不变;独立是指团次试验独立进行 定义:在n重 Bermoy试验中,设P(A)=p,P(A)=q=1-p若以记事件A发生的次数, 则ξ为一随机变量,且其可能取值为01,2,…,n,其对应的概率由二项分布给出: P=k}=Cp(1-p),k=0.2,3,…n,则称ξ服从参数为n,p(0<p<1)的二项分 布,记为5~B(n,p)。 若记b(k,n,p)=P{5=k},显然满足 (1)非负性:b(k,n,p)≥0 (2)规范性∑b(k,np)=∑Cp(1-p)=Ip+(1-p)y 项分布描绘的是n重 Bernau试验中成功出现的次数。若记ξ为成功出现的次数,则5 的可能取值为k=0,1,2,3…,n,其相应的概率为: P=k)=Chp(1-p)k=b(k, n,p) 事实上:若记BA="n重B试验中成功恰好出现次,A="第次试验出现成功 A="第次试验出现失败”i=1,2,3…,n,则: B,=A142A1项……孔n+…+2…nAn1…An,其共有Ck个项,且两两互不相容。 由试验的独立性可知: P{A1A2A4A1-An}=P(A1)P(A1)…P(4)P(A1)…P(A1)=p5(1-p)2k P(B)=Cnp(1-p)”k 例l:若在M件产品中有N件废品,现进行有放回的n次抽样检查,问共取得k件废品的 概率有多少? 解:由于是有放回的抽样,因此,这是n重的Beru试验。记A为“各次试验中出现

2 定义：在一次试验中，设 P(A) = p ， P(A) = q =1− p ，若以  记事件 A 发生的次数，则          q p 0 1 ~ ，称  服从参数为 p(0  p  1) 的 Bernoulli 分布或两点分布，记为：  ~ B(1, p) 。 二、二项分布[Binomial distribution] 把一重 Bernoulli 试验  独立地重复地进行 n 次得到 n 重 Bernoulli 试验。 【注】：重复是指每次试验中成功的概率不变；独立是指 n 次试验独立进行。 定义：在 n 重 Bernoulli 试验中，设 P A p P A q p ( ) , ( ) 1 = = = − 若以  记事件 A 发生的次数， 则  为一随机变量，且其可能取值为 0,1,2,  ,n ，其对应的概率由二项分布给出：   k k n k P k Cn p p −  = = (1− ) ，k = 0,1,2,3,  ,n ，则称  服从参数为 n, p (0  p  1) 的二项分 布，记为  ~ B(n, p)。 若记 b(k,n, p) = P{ = k} ，显然满足： (1) 非负性: b(k, n, p)  0 (2) 规范性: ( , , ) (1 ) [ (1 )] 1 0 0  =  − = + − = = − = n n k k k n k n n k b k n p C p p p p 二项分布描绘的是 n 重 Bernoulli 试验中成功出现的次数。若记  为成功出现的次数，则  的可能取值为 k = 0,1,2,3,  ,n ，其相应的概率为： P = k=C p p b(k n p) k k n k n (1− ) = , , − 事实上：若记 Bk = "n重B试验中成功恰好出现k次" ， A "第i次试验出现成功" i = A "第i次试验出现失败" i = i = 1,2,3,  ,n ，则： Bk A1A2 Ak Ak 1 An A1A2 An k 1An k 1 An ... ... = + + + − + − + ，其共有 k Cn 个项，且两两互不相容。 由试验的独立性可知： k n k P A A Ak Ak An P A P A P Ak P Ak P An p p − { ... + ... } = ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) = (1− ) 1 2 1 1 2  1   ( ) k k n k P Bk Cn p p − = . (1− ) 例 1：若在 M 件产品中有 N 件废品，现进行有放回的 n 次抽样检查，问共取得 k 件废品的 概率有多少？ 解：由于是有放回的抽样，因此，这是 n 重的 Bernoulli 试验。记 A 为“各次试验中出现

废品”这一事件,则P(4) N 设ξ为n次抽样检查中所抽到的废品数,则ξ~B(n,),因 此,所求概率为:P=k}=C()(1-,)k。 三、二项分布的数学期望与方差 设5~B(n,p),P{=k}=Cp2(1-p)*,k=0.2…n 由数学期望的定义: E=∑kP=k}=∑k k(-p(1 S(n-) (k-1)(n-k) (令k-1=l) y2n(=1mp(0-py=mCp0-p=明p+(-p)=甲 即:E=mp 由方差的定义:D5=E(2)-(E)2 E()=∑RCpq=∑k p‘qk(令k-1=l) 如(k-1)(n-k m+.(-1)-pq l(n-1-1) =mp(n-1)p+(p+q)-]m+mn-1)p2 DS=np+n(n-1)p2-(np)2=np(1-p)=npq 五、二项分布的 Poisson逼近 Th;在n重Bemo试验中,记pn为事件A在一次试验中出现的概率,它与试验总数n 有关(一组试验),若mmP=A>0,则对v的正整数k≥0,有limb(k,n,P)=e P00令n=mn,则mn=,且pn=当则 b(k; n, P, )=bk; n, n n

3 废品”这一事件，则 ( ) M N P A = ，设  为 n 次抽样检查中所抽到的废品数，则 ~ ( , ) M B n N  ，因 此，所求概率为：   k k n k n M N M N P k C −  = = ( ) (1− ) 。 三、二项分布的数学期望与方差 设  ~ B(n, p)，   k k n k P k Cn p p −  = = (1− ) ，k = 0,1,2n 由数学期望的定义： ( ) ( ) ( ) ( ) k n k n k k n k n k n k p p k n k n p p np k n k n E k P k k − − = − = =  − − − −   − = −  =   = =    (1 ) 1 ! ! 1 ! (1 ) ! ! ! { } 1 0 0 1 （令 k −1= l ） = ( ) ( ) p p np p p np p p np l n l n np l n l n n l o l n l n l n l − = C − = + − = − − − − − − − = − − − − =   1 1 1 1 1 1 0 (1 ) (1 ) [ (1 )] ! 1 ! 1 ! 即： E = np 由方差的定义： 2 2 D = E( ) − (E) ( ) ( ) k n k n k k k n k n n k p q k n k n E k C p q k − = − = − − =  =  1 ! ! ! ( ) 0 1 2 2  （令 k −1= l ） = ( ) ( ) ( ) l n l n l p q l n l n np l − − − = − − −  + 1 1 0 ! 1 ! 1 ! 1 =       +  − = − = − − − − − − 1 0 1 0 1 1 1 1 n l n l l l n l n l l n l np lCn p q C p q = ( )  1 1 ( ) − − + + n np n p p q = ( ) 2 np + n n −1 p D = np + n(n −1)p − (np) = np(1− p) = npq 2 2  五、二项分布的 Poisson 逼近 Th：在 n 重 Bernoulli 试验中，记 n p 为事件 A 在一次试验中出现的概率，它与试验总数 n 有关（一组试验），若 =  → n n lim nP >0, 则对  的正整数 k  0 ，有 lim ; , ( n ) n b k n P → =  − e k k ! Proof:令 n = npn ，则  =  → n n lim ,且 n p n n  = 则 b(k;n,Pn ) =  =       n b k n n ; , n k k n k n n n n C −        −   ( ) 1 = ( ) n k n k n n n n k k n −         −      −    1 ! ! !

1) (n-1).(m-k+ k k-1 §4.2泊松分布[ Poisson distribution 定义:称占服从参数为(0)的 Poisson分布,若 p5=k}=e4k=01.2 记为:5~p(k,)或(k,),p(k,) k=0,1,2, 显然:p5=k}>0 ∑P=k=∑ k! 为计算方便课后给出了 Poisson分布表,见P附表1 【说明】历史上 Poisson分布是作为二项分布的近似于1837年由法国数学家泊松引入的,若 把B-试验中成功概率p值很小的事件叫做稀有事件,则由上面TH当n充分大时,n重B-试 验中稀有事件发生的次数近似服从 Poisson分布。这时,参数λ的整数部分[a]恰好是稀有 事件发生的最可能次数,在实际中常用 Poisson分布来作为大量重复独立试验中稀有事件发 生的概率分布情况的数学模型,诸如不幸事件,意外事故、故障,非常见病,自然灾害等, 都是稀有事件 许多随机现象都服从 Poisson分布。一是社会生活对服务的要求:如电话交换机中来到 的呼叫次数;公共车站来到的乘客数都近似服从 Poisson分布。另一领域是物理学。放射性 分裂落到某区域的质电点;热电子的放射等都服从 Poisson分布。 例2:设儿童在注射乙肝疫苗产生不良反映的概率为0001,试确定2000个儿童中有3 个以及多于两个儿童产生不良反应的概率? 解:设ξ表示产生不良反应的儿童个数,则ξ~B(n,p),由于假设“不良反应”是稀有事 件,所以ξ可假定服从P(k,1)=e,其中λ=n=2000×0.001=2,从而可得

4 = n k n k n k n n n n n k −          −     − − +   1 ! ( 1) ( 1)  = n k n k n n n k k n −        −      −  −       −   1 1 1 1 1 !  ( ) ! 1 →  →  − e n k k   §4.2 泊松分布[Poisson distribution] 一、定义：称  服从参数为 ( 0) 的 Poisson 分布，若      − = = e k p k k ! k = 0,1,2,... 记为：  ~ p(k;) 或  (k,)， ( )    − = e k p k k ! ; k = 0,1,2,... 显然： p = k 0   1 ! ! 0 0 0 = = = = = −  = −  = −  =           e e k e e k p k k k k k k 为计算方便课后给出了 Poisson 分布表，见 p278 附表 1 【说明】历史上 Poisson 分布是作为二项分布的近似于 1837 年由法国数学家泊松引入的，若 把 B − 试验中成功概率 p 值很小的事件叫做稀有事件，则由上面 TH 当 n 充分大时， n 重 B − 试 验中稀有事件发生的次数近似服从 Poisson 分布。这时，参数  的整数部分 [ ] 恰好是稀有 事件发生的最可能次数，在实际中常用 Poisson 分布来作为大量重复独立试验中稀有事件发 生的概率分布情况的数学模型，诸如不幸事件，意外事故、故障，非常见病，自然灾害等， 都是稀有事件。 许多随机现象都服从 Poisson 分布。一是社会生活对服务的要求：如电话交换机中来到 的呼叫次数；公共车站来到的乘客数都近似服从 Poisson 分布。另一领域是物理学。放射性 分裂落到某区域的质电点；热电子的放射等都服从 Poisson 分布。 例 2：设儿童在注射乙肝疫苗产生不良反映的概率为 0.001，试确定 2000 个儿童中有 3 个以及多于两个儿童产生不良反应的概率？ 解：设  表示产生不良反应的儿童个数，则  ~ ( , ) B n p ，由于假设“不良反应”是稀有事 件 ， 所 以  可 假 定 服 从 ( ; ) ! k P k e k  −  = ，其中  = =  = np 2000 0.001 2 ， 从 而 可 得

P{=3}=0.180,P{>2}= ∑2=-032 、 Poisson分布的数学期望和方差 设5~p(k,4),即p{=k =0.1 E=∑M=2k (k-1) E(3=Sk=-2∑k (+1) (令k-1=l) n2/ e2+e"}( 所以:D5=E(22)-(E2)2=2+1-2= 例3:保险事业是最早使用概率论的部门之一,保险公司为了估计其利润,需要计算各种 概率。保险公司现在为社会提供一项人寿保险,据已有的资料显示:人群中与这项保险业务 有关的死亡概率为0.0020,今有2500人参加这项保险,每个参保的人员在每年1月1日交付 120元保险金,而在死亡时家属可从公司领20000元保险金。试问:(1)保险公司亏本的概率 是多少? (2)保险公司赢利不少于10万元、20万元的概率是多少? 解:每年1月1日,保险公司的收入30万元=120×2500,若一年中死亡x人,则保险公司 这一年应付出20000x元,因此“公司亏本”意味着20000x>300000即x>15人,这样“公 司亏本”这一事件等价于“一年中多于15人死亡”的事件,从而转而求“一年中多于15人 死亡”的概率,若把“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机试验,则问题可 用n=2500,p=0002的 Bernoull试验来近似,设为一年中这些参保人员里死亡的人数, 则2~B(2500000 由上定理,A=m=2500×0.002=5,经查 Poisson分布表,可得 ()P{亏本}=P15>15=2 000070 (2)赢利不少于100000元,则意味着30000000010000→x≤10;

5 P{ 3}| 0.180  = = ， 2 3 2 { 2} 0.323 ! k k P e k  − =   = =  。 二、Poisson 分布的数学期望和方差 设  ~ p(k,) ，即      − = = e k p k k ! , k = 0,1,2,... ( )           = = − = = = −  = − − −  =  =    e e k e e k E k p k k k k k k k 1 1 0 0 ! 1! ( ) ( ) ( )         = + − = − = =    = −  = − − −  =  − = 1 0 1 0 1 0 2 2 ! 1 1! 1! ( ) l k k k k k k k l e l k e e k k E k p k          （令 k −1= l ） =        +  =  = − 0 0 ! ! l l l l l l e l     =      e e + e − = ( +1) 所以：  =  −  =  +  −  =  2 2 2 2 D E( ) (E ) 例 3：保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计其利润，需要计算各种 概率。 保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已有的资料显示：人群中与这项保险业务 有关的死亡概率为 0.0020，今有 2500 人参加这项保险，每个参保的人员在每年 1 月 1 日交付 120 元保险金，而在死亡时家属可从公司领 20000 元保险金。试问：(1)保险公司亏本的概率 是多少? (2) 保险公司赢利不少于 10 万元、20 万元的概率是多少? 解：每年 1 月 1 日，保险公司的收入 30 万元=120 2500 ，若一年中死亡 x 人,则保险公司 这一年应付出 20000 x 元，因此“公司亏本”意味着 20000 x >300000 即 x >15 人，这样“公 司亏本”这一事件等价于“一年中多于 15 人死亡”的事件，从而转而求“一年中多于 15 人 死亡”的概率，若把“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机试验，则问题可 用 n = 2500， p = 0.002 的 Bernoulli 试验来近似，设  为一年中这些参保人员里死亡的人数， 则  ~ B(2500,0.002) 由上定理，  = np = 2500 0.002 = 5 ，经查 Poisson 分布表，可得： (1) P {亏本}= P {   15}= 5 16 ! 5 −  =  k k e k =0.000070 (2)赢利不少于 100000 元，则意味着 300000-20000x 100000  x 10 ；