第三章随机变量的教特怔 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】4学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解数学期望、方差的概念,并掌握它们的性质。 2、会计算随机变量函数的数学期望。 3、了解协方差、相关系数的概念 本章重点】对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。 【本章难点】对不相关与相互独立间关系的理解。 【授课内容及学时分配】 §3.0前言 从上一章我们可以看出,分布函数(或密度函数、分布列)给出了随机变量的一种最完 全的描述。因此,原则上讲,全面认识和分析随机现象就应当求出随机变量的分布,但是对 许多实际问题来讲,要想精确地求出其分布是很困难的。其实,通过对现实问题的分析,人 们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布,而只要求掌握他们的某些重要特 征,这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。例如要评价两个不同厂家生产的灯泡的 质量,人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些,而不需要知道其寿命的完全分布, 同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等,这些数据反映了它在某些方面的重要特征。 我们把刻划随机变量(或其分布某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。 本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度以及随机变量之间的线性相依程 度的数字特征一一数学期望、方差与相关系数(矩)。 §3.1随机变量的数学期望 、离散型随机变量的数学期望 引例:甲、乙二人进行射击比赛,以5、n分别表示他们命中的环数,其分布列分别为 8910 0.30.10.6 0.20.50.3 试问谁的技术好些?
1 第三章 随机变量的数字特征 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】4 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质。 2、会计算随机变量函数的数学期望。 3、了解协方差、相关系数的概念。 【本章重点】对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。 【本章难点】对不相关与相互独立间关系的理解。 【授课内容及学时分配】 §3.0 前 言 从上一章我们可以看出，分布函数（或密度函数、分布列）给出了随机变量的一种最完 全的描述。因此，原则上讲，全面认识和分析随机现象就应当求出随机变量的分布，但是对 许多实际问题来讲，要想精确地求出其分布是很困难的。其实，通过对现实问题的分析，人 们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布，而只要求掌握他们的某些重要特 征，这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。例如要评价两个不同厂家生产的灯泡的 质量，人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些，而不需要知道其寿命的完全分布， 同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等，这些数据反映了它在某些方面的重要特征。 我们把刻划随机变量(或其分布)某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。 本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度以及随机变量之间的线性相依程 度的数字特征——数学期望、方差与相关系数（矩）。 §3.1 随机变量的数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 引例：甲、乙二人进行射击比赛，以 、 分别表示他们命中的环数，其分布列分别为 ～ 0.3 0.1 0.6 8 9 10 ～ 0.2 0.5 0.3 8 9 10 试问谁的技术好些?
解:这个问题的答案并不是一眼看得出的。这说明了分布列虽然完整地描述了离散型随 机变量的概率特征,但是却不够“集中”地反映出它的变化情况,因此我们有必要找出一些 量来更集中、更概括地描述随机变量,这些量多是某种平均值。 若在上述问题中,使两个射手各射N枪,则他们打中靶的总环数大约是 甲8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=93N 乙8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N 平均起来甲每枪射中9.3环,乙每枪射中9.1环,因此可以认为甲射手的本领要好些 受上面问题的启发,对一般离散型随机变量,我们引入如下定义: 定义设为离散型随机变量,其分布列为:xx 若∑|x<+∞ Pp 则称:E5=∑xP为的数学期望或均值 〖注】:为使E5与级数各项的次序无关,必须要求∑|x|收敛;否则,E不存在 例Ⅰ:设用一个匀称的骰子来玩游戏。在这样的游戏中,若骰子向上为2,则玩游戏的人 嬴20元,若向上为4则40元,若向上为6则输30元,若其它的面向上,则玩游戏的人既 不赢也不输,求玩游戏的人赢得钱数的期望和。 解:令5为任何一次抛掷中赢得钱数,则E(02040 1216161/6,则由离散型随机变 量数学期望的定义可知:E=0×1/2+20×1/6+40×1/6-30×1/6=5 从而玩游戏的人可期望赢5元,因此,在一个公正的游戏中,玩游戏的人为了参加游戏应当 付5元底金。 例2:设随机变量ξ只取非负整数值,且其分布列为P{=k}= (1+a)+a>0, 试求E 解:E ∑k(,),令 b则0<b<1 +a1+a 1+a 从而有∑1)=∑=bb-=(b)=△b” 所以E=( 1+a1+a 1+a
2 解：这个问题的答案并不是一眼看得出的。这说明了分布列虽然完整地描述了离散型随 机变量的概率特征，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况，因此我们有必要找出一些 量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。 若在上述问题中，使两个射手各射 N 枪，则他们打中靶的总环数大约是： 甲 8 0.3 N+9 0.1N+10 0.6N=9.3N 乙 8 0.2N+9 0.5N+10 0.3N=9.1N 平均起来甲每枪射中 9.3 环，乙每枪射中 9.1 环，因此可以认为甲射手的本领要好些。 受上面问题的启发，对一般离散型随机变量，我们引入如下定义： 定义 1:设 为离散型随机变量，其分布列为： 1 2 1 2 p p x x ，若 = i i xi p 1 + 则称：E = i i xi p =1 为 的数学期望或均值。 〖注〗：为使 E 与级数各项的次序无关，必须要求 i i xi p =1 收敛；否则， E 不存在。 例 1：设用一个匀称的骰子来玩游戏。在这样的游戏中，若骰子向上为 2，则玩游戏的人 赢 20 元，若向上为 4 则赢 40 元，若向上为 6 则输 30 元，若其它的面向上，则玩游戏的人既 不赢也不输，求玩游戏的人赢得钱数的期望和。 解：令 为任何一次抛掷中赢得钱数，则 − 1/ 2 1/ 6 1/ 6 1/ 6 0 20 40 30 ~ ，则由离散型随机变 量数学期望的定义可知： E = 01/ 2 + 201/ 6 + 401/ 6 − 301/ 6 = 5 从而玩游戏的人可期望赢 5 元，因此，在一个公正的游戏中，玩游戏的人为了参加游戏应当 付 5 元底金。 例 2：设随机变量 只取非负整数值，且其分布列为 0 (1 ) { } 1 + = = + a a a P k k k ， 试求 E 。 解： 0 1 1 ) 1 ( 1 1 0 (1 ) 1 1 = + + + = + = = = + b b a a a a k a a a E k k k k k k ，令 则 从而有 2 ' ' 1 1 1 1 1 1 (1 ) ) 1 ) ( ) [ ] ( 1 ( b b b b k b b k b b b b b b a a k k k k k k k k k k k − = − = = = = = + = = = − = = 所以 a a a a a a E = + − + + = 2 ) 1 ) (1 1 1 1 (
二、连续型随机变量的数学期望 由离散型随机变量数学期望的定义,我们自然可以设想取很密的分点x0<x1<…<xn 将(-∞+∞)分割成n个小区间,则ξ落在(x,x]内的概率等于 P{x,<5x,}=「"(x)x=(x1-x)=f(x1x1-x)(积分中值定理),其中落在x 与x1之间,因此当n→∞时,与以概率f(x1Xxn1-x)取值x1的离散型随机变量相似, 而后者的数学期望为∑x/(x)xm-x),而这个和式的极限就是x(x 为此,对一般连续型随机变量,我们引入如下定义: 定义2:设ξ为连续型随机变量,其密度函数为f(x),若广义积分 (xk<+,则称E(5)=x(xk为的数学期望或均值。 我们知道,若f(x)在x点连续时,有f(x)=F(x),从而dF(x)=f(x)kx,所以上述定义 等价于 定义2:设-F(x),若xF(x)<+∞,则称E(=[(x)为5的数学期望或均 值。 顺便指出,该定义是数学期望的一般定义,它对于离散型和连续型随机变量都适用 0<X≤1 例3:设连续型随机变量5~f(x)={2-x1<x≤2,求E5。 其它 解:由连续型随机变量数学期望的定义可知 E x(x)=x女+x(2-x1 +(x2-1/3x3)=1 随机变量函数的数学期望 我们经常需要求随机变量函数的数学期望,这时可以通过下面的定理来求随机变量函数 的数学期望。 定理:设n是随机变量ξ的函数:n=g(5)(其中g是连续函数), (1)ξ是离散型随机变量,它的分布律为p1=P{=x,},=1,2,…,若 g(x)P<+,则有En=E()=∑8(x)P; (2)5是连续型随机变量,其密度函数为f(x),若[(x(x)x+,则有
3 二、连续型随机变量的数学期望 由离散型随机变量数学期望的定义，我们自然可以设想取很密的分点 n x x x 0 1 ， 将 (−,+) 分割成 n 个小区间，则 落 在 , ] i i+1 （x x 内的概率等于 { } ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 i i i i i x x i i P x x f x dx f x x f x x x i i + = = + − + + − + （积分中值定理），其中 落在 i x 与 i+1 x 之间，因此当 n → 时， 与以概率 ( )( ) i 1 i 1 i f x x − x + + 取值 i+1 x 的离散型随机变量相似， 而后者的数学期望为 + + + − i i i i i x f (x )(x x ) 1 1 1 ，而这个和式的极限就是 + − xf(x)dx 。 为此，对一般连续型随机变量，我们引入如下定义： 定义 2：设 为连续型随机变量，其密度函数为 f (x) ，若广义积分 + + − x f (x)dx ，则称 E xf x dx + − () = ( ) 为 的数学期望或均值。 我们知道，若 f (x) 在 x 点连续时，有 f (x) = F(x) ，从而 dF(x) = f (x)dx ，所以上述定义 等价于： 定义 2’：设 ~ F(x) ，若 + + − xdF(x) ，则称 E( ) xdF(x) + − = 为 的数学期望或均 值。 顺便指出，该定义是数学期望的一般定义，它对于离散型和连续型随机变量都适用。 例 3：设连续型随机变量 − = 0 其它 2 1 2 0 1 ~ ( ) x x x x f x ，求 E 。 解：由连续型随机变量数学期望的定义可知： 1 1 2 ( 1 3 ) 0 1 3 1 ( ) (2 ) 3 2 3 2 1 1 0 2 = = + − = + − = + − E x f x dx x dx x x dx x x x 三、随机变量函数的数学期望 我们经常需要求随机变量函数的数学期望，这时可以通过下面的定理来求随机变量函数 的数学期望。 定理：设 是随机变量 的函数： = g( ) （其中 g 是连续函数）， (1) 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 它 的 分 布 律 为 pi = P{ = xi },i =1,2, ， 若 + i i pi g(x ) ，则有 = = i i Pi E E[g()] g(x ) ； (2) 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x) ，若 + + − g(x) f (x)dx ，则有
E[g(s)]= g(x)f(xXx 定理的证明超出了本书的范围,故略。 定理的重要意义在于当我们求En时,不必算出n的分布律或密度函数,而只需利用的 分布律或密度函数就可以求出。 例4;设5~p(=k}=e=p1k=012…,求E 则E Pk 1+kk1+k)! k+1 (e2-1)=(1-e) 上述定理还可以推广到两个或两个以随机变量函数的情形: 假设y是随机变量(5,n)的函数:y=g(,n)(其中g是连续函数) (3)(5,n)为二维离散型随机变量,其联合分布列为P=P{=x,n=y},1,j=12,…, 若∑∑(x<+,则有Ey=E8(m=∑∑(x,y)P i=l ja (4)ξ,n)为二维连续型随机变量,其联合密度函数为p(x,y),若 g(x,y)(x,y)th<+,则有Ey=Eg(m=∫8(x,y)p(xy)b 例5:设(,n)的密度函数为p(x,y) ∫x+y0≤x10≤y≤1 其它 试求+n,5n的数学期望 解:由定义知:E(+m)=C[(x+mxy)bh=[(x+ybh=76 E(Sn)= xypx, y)dxdy=xy(x+y)dxdy=1/3 四、数学期望的性质 1若a≤5≤b,则a≤E≤b。特别地:ECc=c,这里a,b,c为常数 2线性性质:vc∈R,=1.2…,n及b∈R有E∑c2+b)=∑cE1+b 特别地:E(c2)=cE,E(2+n=E+En
4 E E g g x f x dx + − = [ ()] = ( ) ( ) 。 定理的证明超出了本书的范围，故略。 定理的重要意义在于当我们求 E 时，不必算出 的分布律或密度函数，而只需利用 的 分布律或密度函数就可以求出。 例 4：设 0,1,2, ! ~ { = } = = = − e p k k p k k k ，求 1+ 1 E 。 解：令 + = 1 1 ，则 − = = + = + = e k k p k E k k k k 1 ! 1 1 1 0 0 = = + 0 + 1 k 1 k ( k )! − e = + − e n k 1 =1 ! n n n = − e (e -1)= (1 )/ − − e = =0 ! n n x n x e 上述定理还可以推广到两个或两个以随机变量函数的情形： 假设 是随机变量 ( ,) 的函数： = g(,) （其中 g 是连续函数） (3) ( , )为二维离散型随机变量，其联合分布列为 { , } ij i j P = P = x = y ，i , j =1,2, ， 若 + = = ij i j g xi y j P 1 1 ) ( ，则有 = = = = 1 1 [ ( , )] ( , ) i j i j Pij E E g g x y ； (4)( , )为二维连续型随机变量，其联合密度函数为 p(x, y) ，若 + + − + − g(x, y) p(x, y)dxdy ，则有 E E[g( , )] g(x, y)p(x, y)dxdy + − + − = = 。 例 5：设( , )的密度函数为 + = 0 其它 0 1,0 1 ( , ) x y x y p x y 试求 + ， 的数学期望。 解：由定义知： + = + = + = + − + − 1 0 2 1 0 E( ) (x y)p(x, y)dxdy (x y) dxdy 7 6 E() = + − + − xyp(x, y)dxdy= + 1 0 1 0 xy(x y)dxdy =1/3 四、数学期望的性质 1.若 a b ，则 a E b 。特别地： Ec = c ，这里 a, b ,c 为常数。 2.线性性质： ci R , i =1,2, ,n 及 bR 有 = = + = + n i i i n i E ci i b c E b 1 1 ( ) 。 特别地： E(c) = cE ， E( + ) = E + E
愿孝:若E存在,则E(E()=? 3若,相互独立,则En=EE 证明:仅对ξ,s为连续型随机变量时给予证明。 事实上,Es=「「xyP(xy)ddhy=「「xyP:(x)Pn()dxd ∫xP:x)a∫yPn)h=EE 我们注意到,只要将证明中的“积分”用“和式”代替,就能得到离散型随机变量情形 的证明 【注】:性质3的逆不成立。 反例:设(5,)的联合分布为: 01/O 01/401/4 显然:E=En=0,Em=0,故有EEn=E5n 又P{=0,5=0}=0,而P{5=0 ,P{=0)=, 故P{n=0,5=0}≠P{=0}P{n=0},从而,n不独立 例6:假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随即变量(单位:千吨),其 密度函数为P(x={2000 2000≤x≤4000 0 其它 设每售出这种商品一千吨,可为国家挣得外汇3千万元;但假如销售不了而囤积于仓库,则 每吨须花保养费1千万元,问需要组织多少货源,才能使国家收益最大? 解:设y为一年预备出口的该种商品量,由于外国的需求量为5,则国家收入n(单位 万元)是ξ的函数,且n=g(5) 13-(y-)5<y 这η为随机变量。若收益达到最大,那么其平均值也达到最大。 而Em5=8(=1了 f(x) 2000
5 思考：若 E 存在，则 E(E()) = ? 3.若 , 相互独立，则 E =E E 证明：仅对 , 为连续型随机变量时给予证明。 事实上，E = + − + − xyP(x,y) dxdy = + − + − xyP (x)P (y) dxdy = + − xP (x) dx + − yP (y) dy =E E 。 我们注意到，只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到离散型随机变量情形 的证明。 【注】：性质 3 的逆不成立。 反例：设( , )的联合分布为： 显然：E = E =0，E =0，故有 E E =E 又 P{ = 0, = 0} = 0，而 P{ = 0) = 2 1 ，P{ = 0) = 2 1 ， 故 P{ = 0, = 0} P{ = 0}P{ = 0} ，从而 , 不独立。 例 6：假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随即变量 （单位:千吨），其 密度函数为 P(x)= 0 其它 2000 4000 2000 1 x 设每售出这种商品一千吨，可为国家挣得外汇 3 千万元；但假如销售不了而囤积于仓库，则 每吨须花保养费 1 千万元，问需要组织多少货源，才能使国家收益最大？ 解：设 y 为一年预备出口的该种商品量，由于外国的需求量为 ，则国家收入 （单位: 万元）是 的函数，且 =g( )= − − y y y y 3 ( ) 3 这 为随机变量。若收益达到最大，那么其平均值也达到最大。 而 E =Eg( )= + − g(x)P(x)dx = 4000 2000 ( ) 2000 1 f x dx