第五章矩阵的对角化问题 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵及其性质 矩阵可对角化的条件 四.实对称矩阵的对角化
1 第五章 矩阵的对角化问题 一. 方阵的特征值与特征向量 二. 相似矩阵及其性质 三. 矩阵可对角化的条件 四. 实对称矩阵的对角化
方阵的特征值与特征向量 1定义 2求法 3性质 1.特征值与特征向量的定义 定义1:设A是n阶方阵, 若数和n维非零列向量x,使得 Ax=x成立,则称 九是方阵A的一个特征值 x为方阵A的对应于特征值的一个特征向量。 注:(1)A是方阵 (2)特征向量x是非零列向量 (3)方阵A的与特征值气对应的特征向量不唯一 (4)一个特征向量只能属于一个特征值 2
2 一. 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 A 是 n 阶方阵， 若数 和 n 维非零列向量 x ，使得 Ax x = 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， x 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 (1) A 是方阵 1.定义 2.求法 3.性质 （2）特征向量 x 是非零列向量 （4）一个特征向量只能属于一个特征值 （3）方阵 A 的与特征值 对应的特征向量不唯一
2.特征值与特征向量的求法 Ax=nx →(A-E)x=0或(E-A)x=0 已知x≠0,所以齐次线性方程组有非零解 台→|A-AE|=0或E-A=0 定义2:A nXn ,数元 nXn 11 12 A-nE= 21 22 2n 是关于的一个多项式,称为矩阵A的特征多项式
3 2. 特征值与特征向量的求法 Ax x = − = ( A E x ) 0 或 (E A x − = ) 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解 − = A E 0 或 E A − = 0 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A E a a a − − − = − 定义2： ( ) , n n ij n n A a = 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵 A的特征多项式
n f()=1-2B=aya2-2 n n n2 称为矩阵A的特征方程。 求特征值、特征向量: (1)A-E|=0求出孔即为特征值; (2)Ax=x→(4-E)x=0 把得到的特征值元代入上式, 求齐次线性方程组(A-E)x=0的非零解x 即为所求特征向量
4 ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a f A E a a a − − = − = = − 称为矩阵 A 的特征方程。 求特征值、特征向量： (1) 0 A E − = 求出 即为特征值; (2) Ax x = − = ( A E x ) 0 把得到的特征值 代入上 式， 求齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0 的非零解 x 即为所求特征向量
0 例1:求矩阵A=-430的特征值和全部特征向量 解:第一步:写出矩阵A的特征方程,求出特征值 1-元1 A-E=-43-元0|=0 02-4 2-4)(元 0 特征值为1=2,2=3=1 第二步:对每个特征值九代入齐次线性方程组 (4-E)x=0,求非零解
5 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A − = − A E − = 1 1 0 4 3 0 0 1 0 2 − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − = 特征值为 1 2 3 = = = 2, 1 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0, 求非零解