第一章随机寡件与概率 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念,熟练掌握事件之间的关系与基本 运算 2、理解事件频率的概念,了解随机现象的统计规律性: 3、理解古典概率的定义,了解概率的统计定义、几何概率的定义,知 道概率的公理化定义; 4、掌握概率的基本性质,会应用这些性质进行概率计算; 5、理解条件概率的概念,掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式, 并会应用这些公式进行概率计算 理解事件独立性的概念,会应用事件的独立性进行概率计算 本章重点】理解概率的定义、性质;掌握概率的计算及事件的独立性 【本章难点】判别事件概率的类型;注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用 【授课内容及学时分配】 §1.1隨机事件及其坛算 引言 1.确定性现象与不确定性现象(随机现象): 在自然界与人类社会生活中,存在着两类截然不同的现象:一类是确定性现象。 例如:早晨太阳必然从东方升起;在标准大气压下,纯水加热到100摄氏度必然沸腾 边长为a,b的矩形,其面积必为ab等。对于这类现象,其特点是:在试验之前就能 断定它有一个确定的结果,即在一定条件下,重复进行试验,其结果必然出现且唯一 另一类是随机现象。例如:某地区的年降雨量;打靶射击时,弹着点离靶心的距离; 投掷一枚均匀的硬币,可能出现“正面”,也可能出现“反面”,事先不能作出确定的 判断。因此,对于这类现象,其特点是可能的结果不止一个,即在相同条件下进行重 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率1
概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 1 第一章 随机事件与概率 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本 运算； 2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性； 3、理解古典概率的定义，了解概率的统计定义、几何概率的定义，知 道概率的公理化定义； 4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算； 5、理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式， 并会应用这些公式进行概率计算； 6、理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。 【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的计算及事件的独立性 【本章难点】判别事件概率的类型；注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别； 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用 【授课内容及学时分配】 §1.1 随机事件及其运算 一、引言 1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）： 在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。 例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到 100 摄氏度必然沸腾； 边长为 a，b 的矩形，其面积必为 ab 等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能 断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。 另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离； 投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出现“反面”，事先不能作出确定的 判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重
复试验,试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言,时而出现这个结果,时而 出现那个结果,呈现出一种偶然性, 概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。 其研究对象为:随机现象 研究内容为:随机现象的统计规律性 2.随机现象的统计规律性 以前,由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果,人们就以为随机现象是不 可捉摸的,但是后来人们通过大量的实践发现:在相同条件下,虽然个别试验结果在 某次试验或观察中可以出现也可以不出现,但在大量试验中却呈现出某种规律性,这 种规律性称为统计规律性。例如:在投掷一枚硬币时,既可能出现正面,也可能出现 反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现 反面的机会应该相等,即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%,这正如恩格斯 所指出的:“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐藏着 的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律。”因此,人们买彩票经常不能中奖, 总是抱怨运气不好,其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验,从而也就不能发 现其内部隐藏着的规律 基本概念 本节需要掌握以下基本的概念 1.随机试验 个试验如果满足:①可以在相同的条件下重复进行;②其结果具有多种可能性 ③在每次试验前,不能预言将出现哪一个结果,但知道其所有可能出现的结果。则称 这样的试验为随机试验。简而言之,就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写 的字母‘E’表示 2.样本空间与样本点 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合,称为样本空间,用‘g表示;其 每个元素称为样本点,用‘o’表示。 例如:E,:掷骰子一次,观察出现的点数,则91={O1,O2,…6 E2:投一枚均匀硬币两次,观察出现正反面情况,记Z为正面,F为反面 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率
2 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而 出现那个结果，呈现出一种偶然性。 概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。 其研究对象为：随机现象 研究内容为：随机现象的统计规律性。 2.随机现象的统计规律性： 以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不 可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在 某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这 种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现 反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现 反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近 50%，这正如恩格斯 所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着 的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖， 总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发 现其内部隐藏着的规律。 二、基本概念 本节需要掌握以下基本的概念： 1.随机试验： 一个试验如果满足：①可以在相同的条件下重复进行；②其结果具有多种可能性； ③在每次试验前，不能预言将出现哪一个结果，但知道其所有可能出现的结果。则称 这样的试验为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写 的字母‘E’表示。 2.样本空间与样本点： 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合．．，称为样本空间，用‘ ’表示；其 每个元素称为样本点，用‘ ’表示。 例如：E 1 ：掷骰子一次，观察出现的点数，则Ω 1 ＝｛ 1 ，2 ，…6 ｝； E 2 ：投一枚均匀硬币两次，观察出现正反面情况，记 Z 为正面，F 为反面
则Ω2={(Z,Z,(Z,F,(F,F,(F,Z) E3:电话总机在单位时间内接到的呼唤次数,则Ω3={0,1,2,…}; E4:任取一人量其身高,则24={h:3>h>0 E3:任取一人,以身高决定他买票的类型,则该试验的样本空间应以票的 类型来刻画,而不是以身高来刻画的,所以5={免,半,全}。 注:①样本空间是一个集合,它是由样本点构成。其表示方法,可以用列举法,也 可以用描述法。 ②在样本空间中,样本点可以是一维的,也可以是多维的;可以是有限个,也 可以是无限个。 ③对于一个随机试验而言,样本空间并不唯一。在同一试验中,当试验的目的 不同时,样本空间往往是不同的,但通常只有一个会提供最多的信息。例如 在运动员投篮的试验中,若试验的目的是考察命中率,则样本空间为 g1={中,不中;若试验的目的是考察得分情况,则样本空间为 g21={0分,分,2分,3分}。 3.随机事件: 样本空间Ω的某个子集称为随机事件,简称事件。用字母A,B,C等表示。显然 它是由部分样本点构成的。 随机事件包括基本事件和复合事件。由一个样本点构成的集合称为基本事件;由 多个样本点构成的集合称为复合事件 例如,在投骰子的试验中,事件A:‘掷出偶数点’,用o)2表示“出现i点”,则A 包含a2、4、O6这三个样本点,所以它是复合事件。 4随机事件的发生: 某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点O出现,记为∈A。 例如:在投骰子的试验中,设A‘出现偶数点’,则‘出现2点’就意味着A发 生,并不要求A的每一个样本点都出现,当然,这也是不可能的 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率3
概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 3 则 2 ＝｛（Z，Z），（Z，F），（F，F），（F，Z）｝； E 3：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数，则 3 ＝｛0，1，2，…｝； E 4 ：任取－人量其身高，则 4 ＝｛ h : 3 h 0 ｝； E 5 ：任取一人，以身高决定他买票的类型，则该试验的样本空间应以票的 类型来刻画，而不是以身高来刻画的，所以 5 ={免，半，全}。 注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也 可以用描述法。 ②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也 可以是无限个。 ③对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。在同一试验中，当试验的目的 不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如 在运动员投篮的试验中，若试验的目的是考察命中率，则样本空间为 { } 1 = 中，不中 ； 若 试 验 的 目 的 是 考 察 得 分 情 况 ， 则 样 本 空 间 为 {0 1 2 3 } 1 = 分，分，分，分 。 3.随机事件： 样本空间Ω的某个子集称为随机事件，简称事件。用字母 A，B，C 等表示。显然 它是由部分样本点构成的。 随机事件包括基本事件和复合事件。由一个样本点构成的集合称为基本事件；由 多个样本点构成的集合称为复合事件。 例如，在投骰子的试验中，事件 A：‘掷出偶数点’，用 i 表示“出现 i 点”，则 A 包含 2、4、6 这三个样本点，所以它是复合事件。 4.随机事件的发生： 某个事件 A 发生当且仅当 A 所包含的一个样本点 出现，记为 A。 例如：在投骰子的试验中，设 A‘出现偶数点’，则‘出现 2 点’就意味着 A 发 生，并不要求 A 的每一个样本点都出现，当然，这也是不可能的
5.必然事件与不可能事件: 必然事件:在随机试验中,每次试验都必然发生的事件。用Ω表示 不可能事件:在随机试验中,每次试验都必然不会发生的事件。用Φ表示 例如,在上述掷骰子的试验中,“点数小于7”是必然事件,“点数大于6”是不 可能事件 注:严格来讲,必然事件与不可能事件反映了确定性现象,可以说它们并不是随机事 件,但为了研究问题的方便,我们把它们作为特殊的随机事件 有了上述讨论,可见事件与集合之间建立了一定的对应关系,从而可用集合的一些术 语、符号去描述事件之间的关系与运算 三、事件间的关系 1.事件的包含 当事件A发生时必然导致事件B发生,则称A包含于B或B包含A 记为AcB或B2A。 即AcB台{若O∈A则O∈B},用文(ven)图表示为: 反之,BA分若B不发生,则必然A也不会发生 显然,对任意事件A有:(1)AcA;(2)ΦcAcΩ;(3)若AcB,BcC,则AcC。 2.事件的相等: 若事件A的发生能导致B的发生,且B的发生也能导致A的发生,则称A与B 相等。记为A=B, 即A与B有相同的样本点。 显然有A=B分AcB且BcA 3.事件的互斥(互不相容):若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥 记为AB=Φ 显然有:(1)基本事件是互斥的;(2)Φ与任意事件互斥。 四、事件的运算(和、差、积、逆运算) 1.事件的和(并): 两个事件A、B中至少有一个发生的事件,称为事件A与 事件B的并(或和),记为A∪B(或A+B)。 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率
4 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 5.必然事件与不可能事件： 必然事件：在随机试验中，每次试验都必然发生的事件。用 表示； 不可能事件：在随机试验中，每次试验都必然不会发生的事件。用 表示。 例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于 7”是必然事件，“点数大于 6”是不 可能事件。 注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事 件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。 有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术 语、符号去描述事件之间的关系与运算。 三、事件间的关系 1.事件的包含： 当事件 A 发生时必然导致事件 B 发生，则称 A 包含于 B 或 B 包含 A， 记为 A B 或 B A。 即 A B {若 A,则B}，用文（Venn）图表示为： 反之，B A 若 B 不发生，则必然 A 也不会发生。 显然，对任意事件 A 有：⑴A A ；⑵ A ；⑶若 A B，B C ，则 A C 。 2.事件的相等： 若事件 A 的发生能导致 B 的发生，且 B 的发生也能导致 A 的发生，则称 A 与 B 相等。记为 A＝B， 即 A 与 B 有相同的样本点。 显然有 A＝B A B 且 B A 3.事件的互斥（互不相容）：若事件 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互斥， 记为 AB＝。 显然有：⑴基本事件是互斥的；⑵ 与任意事件互斥。 四、事件的运算（和、差、积、逆运算） 1.事件的和（并）： 两个事件 A、B 中至少有一个发生的事件，称为事件 A 与 事件 B 的并（或和），记为 A B （或 A＋B）
即A∪B={o/o∈A或∈B} 显然有:(1)A∪A=A;(2)AcA∪B,BcA∪B; (3)若AcB,则A∪B=B。特别地,A∪Ω=g,A∪d=A 2.事件的积(交): 两个事件A与B同时发生的事件,称为事件A与事件B的积(或交) 记为A∩B(或AB) 即A⌒B={/o∈A且o∈B} 显然有:(1)A⌒BcA,ABcB (2)若AcB,则A∩B=A,特别地Ag=A; (3)若A与B互斥,则AB=Φ,特别地ΦA=Φ。 注:事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形 UA, A={o/o∈A1或o∈A2或…或o∈A} UA1=A∪A2U…A∪…={o/o∈A1或o∈A2或…或∈A} ∩A4=AnA2∩…∩A=@o/o∈A且o∈A2且.且o∈An} ∩4=A∩A1⌒…∩An…=o/o∈A且o∈A2且…且o∈A 3.事件的差 事件A发生而事件B不发生的事件,称为事件A与事件B的差,记为A-B 即A-B{∈A而ogB}。 显然有:(1)不要求A=B,才有A-B,若AcB,则A-B=Φ; (2)若A与B互斥,则A-B=A,B-A=B 3)A-B=A_AB(证明:利用A-BcA-AB且A一ABcA-B) (4)A-(B-C)≠A-B+C(左边为A的子事件,而右边不是)。 4.事件的逆(对立事件) 若事件A与事件B满足A∪B=且AB=Φ,则称B为A的逆,记为B=A。 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率
概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 5 即 A B ＝｛ω/ω A 或ω B ｝ 显然有：⑴ A A = A ；⑵ A A B， B A B ； ⑶若 A B ，则 A B = B 。特别地， A = , A = A。 2.事件的积（交）： 两个事件 A 与 B 同时发生的事件，称为事件 A 与事件 B 的积（或交）。 记为 A B （或 AB ） 即 AB = / A且 B 。 显然有：⑴ A B A ，A B B ； ⑵若 A B，则A B＝A ，特别地 A＝A ； ⑶若 A与B互斥，则AB＝，特别地A＝ 。 注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。 / A A } 1 2 1 2 1 n n n k Ak = A A A = A = 或 或或 n n k Ak A1 A2 A / A1 A2 A 1 = = = 或 或 或 / A ... A } 1 2 1 2 1 n n n k Ak = A A A = A = 且 且 且 n n k Ak A1 A2 A / A1 A2 A 1 = = = 且 且 且 3.事件的差： 事件 A 发生而事件 B 不发生的事件，称为事件 A 与事件 B 的差，记为 A-B。 即 A− B { A而 B}。 显然有：⑴不要求 A B ，才有 A − B ，若 A B，则A - B = ； ⑵若 A与B互斥，则A－B＝A，B－A＝B ； ⑶ A－B＝A－AB（证明：利用A－B A－AB且A－AB A－B） ； ⑷ A − (B − C) A − B + C （左边为 A 的子事件，而右边不是）。 4.事件的逆（对立事件）： 若事件 A 与事件 B 满足 A B＝且AB＝，则称B为A的逆，记为B＝A