例3已知a1=(11),求一组非零向量z,a3,使 a1,a2,a3规范正交 解:a,a3应满足方程ax=0, 即x1+x2+x2=0它的基础解系为: =(10-1 再把基础解系正交化,取 a2=51,a3=42-9251其中[12]=1 [51251] 55]=2,于是a2=(0-1) (01-1)-(10-1)=(-1
T 1 2 3 1 2 3 T 2 3 1 1 2 2 T T 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 1 T 1 1 2 1 1 1 , , , , , 0 1 0 1 0 1 1 . [ , ] , [ , ] 1 [ , 3 ] [ , ] 2 1 0 . 1 x x x a a a a a a a a a x a a ξ a 已知 求一组非零向量 ，使 规范正交。 应满足方程 ， 即 它的基础解系为： 再把基础解系正交化，取 其中 ； ，于是 例 解： 0 T T T 3 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 2 a
五、正交矩阵与正交变换 定义4如果n阶矩阵A满足AA=E(即 A=A),那么称A为正交矩阵。上式用 A的列向量表示,即 是 ,a.a=E 0,i≠j
五、正交矩阵与正交变换 1 T 1 T 2 1 2 T T ( ) , ,..., ... 1, [ , ] ( , 1 4. ,2,..., ) 0, n n i j ij n i j i j n i j A A A E A A A A a a a a a E a a a 如果 阶矩阵 满足 即 ，那么称 为正交矩阵。上式用 的列向量表示，即 是： 即 定义