第三次作业 1把下列矩阵化为行阶梯矩阵和行最简矩阵 2 000 31 3534 310 830 2-3 02-1)2+(-25(102-1)+(-1(102-1) 解:(1)203 001-3 304-3+(-3)(00-20÷(-2)(001 102-1)5÷31102-1)+3(1020)+(-2)r2(1000 001-3~001-3~0010 0010 0003 0001+(0001 0001 13-43 13-43 00-48-8 ÷(-4 35-4 00 2 00-510 10/5÷(-3)001-22 001 74÷(-5) 3r(1-102-3 001-22 00000 00000 231-3-1-20-111 2+2/0-111 120-2-4 0-2-4 (3) 3-2830 2-57 0-88912 00014 0-778 0001 万;(1 020-2 020-2 01-103 hx(-1)00014 00014 00000 00000 74-73 010)(101(123 2.设1004010=456,求A 001)(001(78 010 010(123)(10-1 解:A=100456010 00-456-010 789(001 001八(789(00
ԛసұᆴྜ 1.ᡞϟ߫ⶽ䰉࣪Ў㸠䰊ẃⶽ䰉㸠᳔ㅔⶽ䰉 1) 102 1 203 1 304 3 æ ö - ç ÷ ç ÷ è ø - 2) 1 13 4 3 3 35 4 1 2 23 2 0 3 34 2 1 æ ö - - ç ÷ - - - - è ø - -- 3) 231 3 7 120 2 4 3 28 3 0 2 37 4 3 æ ö - - ç ÷ - - - è ø - 㾷˖(1) 21 2 3 2 31 3 ( 2) ( 1) 102 1 10 2 1 102 1 203 1 00 1 3 001 3 304 3 00 2 0 001 0 ( 3) ( 2) ~ ~~ rr r r r rr r +- ¸- - æ ö æ öæ ö - -- ç ÷ ç ÷ç ÷ - - - - +- ¸- è ø è øè ø 3 23 1 2 1 3 3 3 ( 2) 102 1 102 1 1020 1000 001 3 001 3 0010 0010 000 3 000 1 0001 0001 ~~ ~ r rr r r r r ¸ + + - æ öæ ö æ ö æ ö - - ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - + è øè ø è ø è ø 2) 21 2 31 3 41 4 1 13 4 3 1 1 3 4 3 1 13 43 3 ( 4) 3 35 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 22 2 23 2 0 0 0 3 6 6 0 0 1 22 2 ( 3) 3 3 4 2 1 0 0 5 10 10 0 0 1 2 2 3 ( 5) ~ ~ rr r rr r rr r æ öæ ö æ ö -- - - -- - ¸- ç ÷ç ÷ ç ÷ -- - - - -- - - - - ¸- è øè ø è ø - -- - - - - ¸- 1 2 3 2 4 2 1 10 2 3 3 001 22 0000 0 0000 0 ~ r r r r r r - æ ö - - ç ÷ - ç ÷ - ç ÷ è ø - (3) 12 21 32 31 42 41 2 3 1 3 7 0 11 1 1 0 111 1 2 2 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 1 0 20 2 3 2 8 3 0 0 8 8 9 12 0 0 0 1 4 3 8 2 3 7 4 3 0 7 7 8 11 0 0 0 1 4 2 7 ~ ~ rr r r rr rr rr rr æ ö æ öæ ö -- - - - + ç ÷ ç ÷ç ÷ -- -- - - - - - è ø è øè ø - - - - 1 2 2 3 2 4 3 10 2 0 2 10 2 0 2 01 1 1 1 01 10 3 00 0 1 4 00 0 1 4 ( 1) 00 0 0 0 00 0 0 0 ~ ~ r r r r r r r « æ öæ ö - - + ç ÷ç ÷ --- - ´ - è øè ø - 2ˊ䆒 010 101 123 100 010 456 001 001 789 æ öæ öæ ö ç ÷ç ÷ç ÷ = è øè øè ø A ˈ∖ A 㾷˖ 1 1 010 123 101 010 123 10 1 100 456 010 100 456 01 0 001 789 001 001 789 00 1 - - æ ö æ öæ ö æ öæ öæ ö - = = ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è øè ø è øè øè ø A gg gg
3.试用矩阵的初等变换,求下列矩阵的逆矩阵 3-20-1 333 15(2) 0221 321100(321100 320-0 解:(1315010-0-14}-110-0-10:112 323001)0021-101)0021-10 9 300 100 2 ~0-10}11-2~0101-1-12 00 3-20-1 022 1000)(049710-30 210100022110100 -210010 012110001)(01211000 001310 001310-3-4 00-2-11010-2000521-6-1 101010012 101010012 012 0001)(01211000
452 122 782 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø 3ˊ䆩⫼ⶽ䰉ⱘ߱ㄝবᤶˈ∖ϟ߫ⶽ䰉ⱘ䗚ⶽ䰉 (1) 321 315 323 æ ö ç ÷ ç ÷ è ø (2) 3 20 1 02 2 1 1232 01 2 1 æ ö - - ç ÷ ç ÷ --- ç ÷ è ø 㾷˖(1) 3 1 320 0 321100 3 2 1 1 00 2 2 315010 ~ 0 14 110 ~ 0 10 1 1 2 323001 0 0 2 101 0 0 2 10 1 æ ö - ç ÷ æ öæ ö ç ÷ç ÷ -- - - è øè ø - - è ø 7 9 72 3 300 2 100 2 2 63 2 ~ 0 10 1 1 2 ~ 010 1 1 2 0 0 2 10 1 1 1 001 0 2 2 æ ö æ ö - - ç ÷ ç ÷ - - -- - - è ø è ø 3 20 1 02 2 1 1232 01 2 1 - - --- 1 72 3 321 63 2 315 1 1 2 323 1 1 0 2 2 - æ ö - ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ =- - ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ - è ø (2) 3 2 0 1 1000 0 4 9 7 10 30 0 2 2 1 0100 0 2 2 1 01 0 0 ~ 1 2 3 20010 1 2 3 200 1 0 0 1 2 1 0001 0 1 2 1 00 0 1 æ öæ ö - - ç ÷ç ÷ --- --- è øè ø 00 1 3 10 3 4 001310 3 4 0 0 2 1 0 1 0 2 0 0 0 5 2 1 6 10 ~ ~ 10 1 0 00 1 2 101000 1 2 01 2 1 00 0 1 012100 0 1 æ öæ ö -- - - ç ÷ç ÷ -- - -- è øè ø
32 1000 10100012 1555 110001 01000 0013110-3-40010 0005121-6-10 0001 216 3-20-1 320 110 0-5 21-6-10 1-10 4.设A=01 AX=2X+A,求X 解:AX=2X+A→(A-2E)X=A A-2E=-011,A-2E=-2≠0 101 10 所以:X=(A-2E)A=-01 01-1 1101-10 101-10 00-1-22 又01101-1-011101-1-0102 1011-101)(00 0 12-2 故:X=-2-12 20-1 5.在秩等于4的矩阵中,是否有等于0的3阶子式?是否有等于0的4阶子式?请举例说 明 解:在秩是k的矩阵中,既可能存在等于0的k-1阶子式,也可能存在等于0的k阶子式 0100 例如,A=0010,R(4)=3同时存在等于0的3阶子式和2阶子式 0000 0000
132 1000 0 555 101000 1 2 0100 0 1 0 1 012100 0 1 ~ ~ 1 33 001310 3 4 0010 2 5 55 0 0 0 5 2 1 6 10 21 6 0001 2 55 5 æ ö ç ÷ æ ö - ç ÷ - - - - è ø - - - - è ø 1 3 20 1 1 3 2 0 02 2 1 0 5 0 5 1 1 2 3 2 1 3 3 10 5 0 1 2 1 2 1 6 10 - æ öæ ö - - ç ÷ç ÷ - = --- -- è øè ø - - 4ˊ䆒 1 10 0 1 1, 2 10 1 æ ö - = - =+ ç ÷ ç ÷ è ø - A AX X Aˈ∖ X 㾷˖ AX X A A E X A = +Þ - = 2 ( 2) 110 2 0 1 1 ,| 2 | 2 0 101 æ ö - =- - =- ¹ ç ÷ ç ÷ è ø AE AE ᠔ҹ˖ 1 1 110 1 1 0 ( 2 ) 011 0 1 1 101 1 0 1 - - æ öæ ö - = - =- - ç ÷ç ÷ è øè ø - X A EA জ 110 1 1 0 110 1 1 0 100 1 2 2 011 0 1 1~ 011 0 1 1~ 010 2 1 2 101 1 0 1 001 2 0 1 001 2 0 1 æ öæ öæ ö - - -- ç ÷ç ÷ç ÷ --- è øè øè ø --- ᬙ˖ 12 2 2 12 20 1 æ ö - =- - ç ÷ ç ÷ è ø - X 5ˊ⾽ㄝѢ 4 ⱘⶽ䰉Ёˈᰃ৺᳝ㄝѢ 0 ⱘ 3 䰊ᄤᓣ˛ᰃ৺᳝ㄝѢ 0 ⱘ 4 䰊ᄤᓣ˛䇋В՟䇈 ᯢDŽ 㾷˖⾽ᰃ k ⱘⶽ䰉Ёˈ᮶ৃ㛑ᄬㄝѢ 0 ⱘ k-1 䰊ᄤᓣˈгৃ㛑ᄬㄝѢ 0 ⱘ k 䰊ᄤᓣ. ՟བˈ 1000 0100 0010 0000 0000 æ ö ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A ˈ R() 3 A = ৠᯊᄬㄝѢ 0 ⱘ 3 䰊ᄤᓣ 2 䰊ᄤᓣ
6.求作一个秩等于4的矩阵,它的两个行向量分别是(,0,1,0,0,(1,-1,0,0,0) 解:设a1,a2,a3,42a3为五维向量,且a1=(1,0,1,0,0),a2=(1,-1,0,0,0),则所求方 a3=(0.0.0.x,0) 阵可为A=a3,秩为4,不妨设{a=(0.000x),取x=x=1 (0,0,0,0,0) 1-1000 故满足条件的一个方阵为00010 00001 00000 7.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A、B的秩的关系如何? 8.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶的非零子式 1837 31 2) 3102 1-12-1 -12-1 解:(1)A=1-12-1 3102 04-65 13-44 13-44rr1(04-65 R(A)=2,二阶子式 0000 21837 0320 0320 (A=2-30742-307-/-2N0-3-63-5 3-2580 3-2580 0-2-420 0320 21837 7 012-17 n(>F4 03207÷14 000016 ÷160 0001 R(A)=3 3+2/000014 00000
6ˊ∖ϔϾ⾽ㄝѢ 4 ⱘⶽ䰉ˈᅗⱘϸϾ㸠䞣߿ߚᰃ(1,0,1,0,0),(1, 1,0,0,0) - . 㾷˖䆒 12345 ĮĮ ĮĮ ,,,,Į ЎѨ㓈䞣ˈϨ 1 2 Į = =- (1,0,1,0,0), (1, 1,0,0,0) Į ˈ߭᠔∖ᮍ 䰉ৃЎ 1 2 3 4 5 æ ö ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø Į Į A Į Į Į ˈ⾽Ў 4ˈϡོ䆒 3 4 4 5 5 (0,0,0, ,0) (0,0,0,0, ) (0,0,0,0,0) x x ì = ï í = ï î = Į Į Į ˈপ 4 5 x x = =1 ᬙ⒵䎇ᴵӊⱘϔϾᮍ䰉Ў 1 0 100 1 1000 0 0 010 0 0 001 0 0 000 æ ö ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 7ˊҢⶽ䰉 A Ёߦএϔ㸠ᕫࠄⶽ䰉 Bˈ䯂 AǃB ⱘ⾽ⱘ݇㋏བԩ˛ 8ˊ∖ϟ߫ⶽ䰉ⱘ⾽ˈᑊ∖ϔϾ᳔催䰊ⱘ䴲䳊ᄤᓣ 1) 31 0 2 1 12 1 13 44 æ ö ç ÷ - - ç ÷ è ø - 2) 2 1 83 7 2 307 5 3 258 0 1 0 32 0 æ ö ç ÷ - - - è ø 㾷˖(1) 1 2 2 1 3 1 31 0 2 1 12 1 1 12 1 3 1 12 1 31 0 2 04 65 13 44 13 44 04 65 ~ r r r r r r « - - æ öæ ö æ ö -- -- =- - - ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø -- - A : 3 2 1 12 1 0 4 6 5 ( ) 2 00 0 0 ~ r r R - - - - = æ ö ç ÷ è ø A ˈѠ䰊ᄤᓣ 3 1 4 1 1 = - - ˊ (2) 2 1 4 1 3 1 4 1 2 1 83 7 1 0 32 0 1 0 3 2 0 2 2 307 5 2 307 5 0 3 6 3 5 3 258 0 3 258 0 0 2 4 2 0 3 1 0 32 0 2 1 83 7 0 1 2 1 7 2 ~ r r r r r r r r æ ö æ öæ ö « - ç ÷ ç ÷ç ÷ - - - - -- - = - - -- - è ø è øè ø - - A : 2 4 2 4 3 34 4 4 3 103 2 0 103 2 0 3 14 0 0 0 0 16 0 1 2 1 7 () 3 0 0 0 0 14 0 0 0 0 1 2 16 012 17 000 0 0 ~ ~ r r r r r R rr r r r « + æ öæ ö ¸ ç ÷ç ÷ - = + ¸ è øè ø - - ǂǂǂ A
三阶子式3-2032=-10≠0 9.设A、B都是mxn矩阵,证明A~B的充要条件是R(A)=R(B) 10.设A=-12k-3|,问k为何值时,可使(1)R(4)=1,2)R(A=2,(3)R4)=3 k-23 11.求解下列齐次线性方程组 1){2x1+x2+x2-x4=0 x1+2x2+x3+2x4=0 「3x1+4x,-5x2+7x4=0 2)2x-32+3x3-2x1=0 x1+11x2-13x3+16x4=0 7x,-2x,+x,+3x,=0 解:(1)对系数矩阵实施行变换 0 00-4/3 211-1-013-1 0103 2212)(001-4/3)(001-4/3 4 即得 X4 4 故方程组的解为x2=k413 (2)对系数矩阵实施行变换 10 MI 34-57 1717 1920 411-1316 1717/即得 7-213)0000 3=x 0000 x4=x4
ϝ䰊ᄤᓣ 235 3 2 3 2 0 5 10 0 1 0 10 0 - - - - =- =- ¹ ˊ 9ˊ䆒 AǃB 䛑ᰃ m´ n ⶽ䰉ˈ䆕ᯢ A B~ ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ R(A)=R(B) 10ˊ䆒 1 23 12 3 2 3 k k k æ ö - =- - ç ÷ ç ÷ è ø - A ˈ䯂 k ЎԩؐᯊˈৃՓ(1)R(A)=1ˈ,2)R(A)=2ˈ(3)R(A)=3 11ˊ∖㾷ϟ߫唤㒓ᗻᮍ㒘 1) 12 3 4 1234 1 23 4 2 0 2 0 22 2 0 xx x x xxxx x xx x ì + + +- = ï í ++-= ï î + ++ = 2) 1234 123 4 123 4 1 23 4 3457 0 2332 0 4 11 13 16 0 72 3 0 xxxx xx x x xx x x x xx x ì +-+ = ï ï -+- = í +-+ = ï ï î - ++ = 㾷˖(1) ᇍ㋏᭄ⶽ䰉ᅲᮑ㸠বᤶ: 1 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 4/3 211 1 01 3 1 010 3 2 2 1 2 0 0 1 4/3 0 0 1 4/3 æ öæ öæ ö -- - ç ÷ç ÷ç ÷ - - è øè øè ø - - : : ेᕫ 1 4 2 4 3 4 4 4 4 3 3 4 3 x x x x x x x x ì = ï ï ï = - í ï = ï ï î = ˈᬙᮍ㒘ⱘ㾷Ў 1 2 3 4 4/3 3 4/3 1 x x k x x æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø (2) ᇍ㋏᭄ⶽ䰉ᅲᮑ㸠বᤶ: 3 13 1 0 34 5 7 17 17 2 3 3 2 19 20 0 1 4 11 13 16 17 17 721 3 00 0 0 00 0 0 æ ö - - ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ è ø - ç ÷ è ø : ेᕫ 134 234 3 3 4 4 3 13 17 17 19 20 17 17 xxx xxx x x x x ì = - ï ï ï = - í ï ï = ï î =