施密特( Schmidt)正交化 设a1 a是向量空间V的一组基,那么 可以通过施密特正交化方法,把向量组a1,a2 a进行正交化,便可得到向量空间V的 组规范正交基。即也就是要找一组两两正交的 单位向量e1g2,e,使e1,e2,e,与a,a2,,a 等价。具体方法如下:取 h,=a: b b [b1,b]
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 , ,..., , , ..., , ,..., , , ,..., , ,..., [ , ] [ , ] r r r r r a a a V a a a V e e e e e e a a a b a b a b a b b b 设 是向量空间 的一组基，那么 可以通过施密特正交化方法，把向量组 进行正交化，便可得到向量空间 的一 组规范正交基。即也就是要找一组两两正交的 单位向量 使 与 等价。具体方法如下：取 ； ； 施密特(Schimidt)正交化
b 16,a b,, a b, b b., a I [b1,b][b2,b2] b, b 容易验证b,b,,b两两正交,且bb,b与 a13a2,a,等价。然后只要把它们单位化,即 取 bo.e 就得V的 组规范正交基
1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 [ , ] [ , ] [ , ] ... [ , ] [ , ] [ , ] , ,..., , ,..., , ,..., 1 1 1 , ,..., r r r r r r r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b b b a a a e b e b e b V b b b 容易验证 两两正交，且 与 等价。然后只要把它们单位化，即 取 ，就得 的 一组规范正交基
上述从线性无关向量组a1,a2…,an导出正交 向量组e1,e2…,e的过程称为施密特正交化过 程。它不仅满足b,b2…,b与a1,a2…,a,等价, 还满足:对任何k(1≤k≤)向量组b,b2…,b 与a,a2,am等价
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., (1 ), , ,..., , ,..., r r r r k k k k r a a a e e e b b b a a a b b b a a a 上述从线性无关向量组 导出正交 向量组 的过程称为施密特正交化过 程。它不仅满足 与 等价， 还满足：对任何 向量组 与 等价
4 例2设a1=2,a2=3 1试用施密 特正交化法把上述向量组范正交化。 解:取b=a1 b, a2,b1] b3=a3 La3, b._la3,2
1 2 3 1 1 2 1 2 2 2 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 1 2 1 1 4 2 , 3 , 1 1 1 0 1 1 1 [ , ] 4 5 3 2 1 6 3 1 1 1 [ , ] [ 2. , ] a a a b a a b b a b b a b a b b a b b b b 设 试用施密 特正交化法把上述向量组范正交化。 解：取 例
4 再把它单位化,取 bbbb 2-1 bb √3 (101)即合所求
T T 1 2 1 2 1 2 T 3 3 3 4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 3 3 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 6 3 1 1 0 1 2 b b e e b b b e b 再把它单位化，取 即合所求