第一讲坐标系 第一 1.极坐标系的概念 图1-9是某校园的平面示意图.假设某同学在 实验楼 C图书馆 教学楼处,请回答下列问题 (1)他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置? 该位置惟一确定吗? 办公楼 120m (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如 50 何描述? A60mB体育馆 教学楼 图1-9 000。000。00。000000垂00000。0000Do。od000。00 以A为基点,射线AB为参照方向,利用与A的距离、与AB所成的角,就可以刻画 平面上点的位置.有时它比直角坐标更方便,如在台风预报、地震预报、测量、航空、航 海中就主要采用这种方法 N考 0。。。 类比建立平面直角坐标系的过裎,怎样建立用距离与角度确定平面上点 的位置的坐标系? COIT 如图1-10,在平面内取一个定点O,叫做极点:自极点O引 条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位 M(,6) (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了 个极坐标系 设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM|叫做点M 图1 的极径,记为P;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为6.有序数对(P,)叫做点M的极坐标,记作M(,0) 般地,不作特殊说明时,我们认为P≥0,0可取任意实数 例1如图1,在极坐标系中,写出点A,B,C的极坐标,并标出点D(2,5) E(4,),F(35,3)所在的位置 解:由图1-11,可得点A,B,C的极坐标分别为 (,0),(,2),(5,)
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数方程 吾 否 乎晋 图1 图1-12 点D,E,F的位置如图1-12所示 例2在图19中,用点A,B,C,D,E分别表示教 学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标 解:以点A为极点,AB所在的射线为极轴(单位长度 120m60√3m 为1m),建立极坐标系(图1-13).点A,B,C,D,E的 50 极坐标分别为(0,0),(60,0),(120.3) A(O) 60m 3π 建立极坐标系后,给定和6,就可以在平面内惟一确定点M;反过来,给定平面内 任意一点,也可以找到它的极坐标(P pcin. com 在极坐标系中,(4.),(4,+2),(4,5+4x),(,百一2x)表示的: 点有什么关系?你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗? 000·00。09000。0000。。00000。0。。0。0·000。0音。000。000 由终边相同的角的定义可知,上述极坐标表示同一个点.实际上, 4,6+2x(k∈Z)都表示这个点 一般地,极坐标(,0)与(,日+2kx)(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点O的坐标 为(0,0)(6∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示 如果规定p>0,0≤6<2x,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(,6)表 示;同时,极坐标(P,θ)表示的点也是惟一确定的 10
第一讲坐标系 第世拂 2.极坐标和直角坐标的互化 平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示,那么, 这两种坐标之间有什么关系呢? 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并 在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点, 它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,6).从图1-14可以得出它 们之间的关系: N x C V-psin 图1-14 由①又可得到下面的关系式: p2=x2+y2,tan=2(x≠0) 这就是极坐标与直角坐标的互化公式 豆丁 例3将点M的极坐标(,2)化成直角坐标 解 e的 cIn. co 因此,点M的直角坐标为 55√3 ①把直角坐 标转化为极坐标 例4将点M的直角坐标(-3,-1)化成极坐标 时,通常有不同 解:p=√(-3)2+(-1)=√3+1=2 的表示法(极角 相差2π的整数 倍).一般只要 0= 取∈[0,2)就 因为点M在第三象限,所以=6.° 可以了 因此,点M的极坐标为(2,5 11
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数方程 习题 1.写出图中A,B,C,D,E,F,G各点的极 坐标(P>0,0≤6<2x). 2.中央气象台在2004年7月15日10:30发布 的一则台风消息:今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天 上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440公里的 南海东北部海面上,中心附近最大风力有9级.请建立适当 的坐标系,用坐标表示出该台风中心的位置 3.在极坐标系中,已知两点A(3,3,B(,2x ,求A (第1题) B两点间的距离 4、已知点的极坐标分别为(3,哥),(2,2),(4,),(,x),求它们的直角坐标 5、已知点的直角坐标分别为,、③),(0,-3)(2,0,(=2,-2,.求它们的极 坐标 三简单曲线的极坐标方程 在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f , )=0表示.曲线与方程满足如 下关系 (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 那么,在极坐标系中,平面曲线是否可以用方程f(P,0)=0表示呢? 1.圆的极坐标方程 探究 如图1-15,半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a>0).你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(P,0)满足的条件吗? 如图1-15,圆经过极点O.设圆和极轴的另一个交点是A,那么OA=2a.设 M(p,0)为圆上除点O,A以外的任意一点,则OM⊥AM.在Rt△AMO中, 12
坐标系 第一拼 是,式就量圆上正意 极坐标方程 就是圆心 例1 OCm豆丁 71-16 与直方雇 x2+=2比被,你 献说说方 的说表吗?