CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修4-4)坐标系与参数方程 4(=0) 5兀 射线OM上任意一点的极角都是5,因此射线OM的极坐标方 程是 图1-18 4(≥0) 因此,直线的方程可以用0=和=5表示 与用直角坐标方程y=x表示直线l比较,用极坐标方程表示过 若p<0,则 极点的直线l并不方便.当然,如果允许P取全体实数,那么极坐 0>0,我们规 定点M(P,6)与 标方程 点P(一P,)关 6-7(p∈R)或b=5(∈R) 于极点对称, 都是直线l的方程 例2求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线l的极坐 标方程 解:如图1-19,设M(P,)为l上除点A外的任意一点.连接 A OM,由Rt△MOA有 OM|cos∠MOA=|OA|, pcos 8 图1-19 可以验证,点A的坐标(a,0)满足上式.因此,这就是所求直线的极坐标方程 例3设点P的极坐标为(,1),直线l过点P且与极轴所成的角为a,求直线l的 极坐标方程 解:如图1-20,设M(P,6)为直线l上除点P外的任意一点, 连接OM,则OM=0,∠xOM=6.由点P的极坐标为(,B1)知 OP|=p,∠xOP=61 设直线l与极轴交于点A,已知直线l与极轴成a角,于是 ∠xAM=a.在△MOP中, OMP=a-0, /OPM=-(a-81 图1-20 由正弦定理,得 OM OP sin∠ OPM sin∠OMP 即 [π-(a-61)] sin(a 即 psin(a-8)=p sin(a-81) 显然,点P的坐标(A,日)是方程①的解.因此,方程②为直线l的极坐标方程 14
第一讲坐标系 第 9。0。0.0。。。0。。。。。。。000 在例3中,如果以极点为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直 角坐标系,那么直线l的直角坐标方程是什么?比较直线l的极坐标方程与 直角坐标方程,你对不同坐标系下的直线方程有什么认识? 习题8 1.说明下列极坐标方程表示什么曲线,并画图. (1)p=5; (2)0=(9∈R); 6 (3)p=2sin 0. 2.在极坐标系中,求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程: (1)过极点,倾斜角是的直线; (2)过点(2,否),并且和极轴垂直的直线 (3)圆心在A(1,),半径为1的圆 (4)圆心在{a,。,半径为a的圆 3把下列直角坐标方程化成极坐标方程: (1)x=4; (3) 4.把下列极坐标 (1) psin 0-2 (2)p(2cos+5sin0)-4=0; (3)=-10cos0; (4)p=2cos 8-4sin 0. 5.已知直线的极坐标方程为Ni(+2)=号2,求点A(2,)到这条直线的距离 6.已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为楠圆上 的两点,且OA⊥OB. (1)求证:TOAp+OB为定值 (2)求△AOB面积的最大值和最小值 ■15