二项式定理的十一种考题解法 1.二项式定理 (a+b)=Ca"+Cla"b+…+C;a"b+…+C"b"(n∈N), 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做(a+b)y的二项展开式 ②二项式系数:展开式中各项的系数C(r=0,2,…,m) ③项数:共(r+1)项,是关于a与b的齐次多项式 ④通项:展开式中的第r+1项C"a"b叫做二项式展开式的通项。用 Tn=Cna"b表示。 3.注意关键点 ①项数:展开式中总共有(n+1)项 ②顺序:注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a+b)与(b+a)是不同的 ③指数:a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。b的指数从0逐项减到n, 是升幂排列。各项的次数和等于n ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 C,.Cn,C2…,Cn…,Cn项的系数是a与b的系数(包括二项式系数 4.常用的结论 a=lb=x (1+x)"=Cn+Cx+Cnx2+…+Cnx+…+Cnx”(n∈N")
1 二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 0 1 1 ( ) ( ) n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N − − + = + + + + + ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做 ( )n a b + 的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数 r Cn ( 0,1,2, , ) r n = . ③项数：共 ( 1) r + 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第 r +1 项 r n r r C a b n − 叫做二项式展开式的通项。用 1 r n r r T C a b r n − + = 表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有 ( 1) n + 项。 ②顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。 ( )n a b + 与 ( )n b a + 是不同的。 ③指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n， 是升幂排列。各项的次数和等于 n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 0 1 2 , , , , , , . r n C C C C C n n n n n 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 a b x = = 1, , 0 1 2 2 (1 ) ( ) n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N + = + + + + + +
令a=1.b=-x,(1-x)y=Cn-Cx+C2x2-…+Cnx+…+(-1)Cnx(m∈N) 5.性质 ①二项式系数的对称性:与首末两端对距离”的两个二项式系数相等 即 ②二项式系数和:令a=b=1,则二项式系数的和为 变形式Cn+Cn2+…+Cn+…+Cm=2”-1。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令a=1,b=-1,则C-C+C2-C3+…+(-1)Cn=(1-1)=0 从而得到 2r+1 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和: (a+x)”=Cax°+Ca"x+C2an-2x2+…+Cnax"=a0+a1x2+a2x2+…+anx (x +a)=Cm ax+C ax+C a'x x +ax+ 令x=1,则a+a1+a2+a3…+an=(a+1)--- 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+an=(a-1) ①+②得a0+a2+a4…+an (a+1)”+(a-1) (奇数项的系数和) ①-②得a1+a3+a3…+an (a+1)"-(a-1) (偶数项的系数和) ⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数n是偶数时,则中间一项的二 项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时,则中间两项的二项
2 令 a b x = = − 1, , 0 1 2 2 (1 ) ( 1) ( ) n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N − = − + − + + + − 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即 0 n C C n n = ，·· k k 1 C C n n − = ② 二 项 式 系 数 和 ： 令 a b = =1 , 则 二 项 式 系 数 的 和 为 0 1 2 2 r n n C C C C C n n n n n + + + + + + = ， 变形式 1 2 2 1 r n n C C C C n n n n + + + + + = − 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令 a b = = − 1, 1 ，则 0 1 2 3 ( 1) (1 1) 0 n n n C C C C C n n n n n − + − + + − = − = ， 从而得到： 0 2 4 2 1 3 2 1 1 1 2 2 2 r r n n C C C C C C C n n n n n n n + − + + + + = + + + + = = ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 0 0 1 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2 2 0 2 1 2 1 0 0 1 2 3 0 1 2 3 ( ) ( ) 1, ( 1) 1, ( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a − − − − + = + + + + = + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + − − − − − − − − − = − − + − + + = − − − − − 令 则 ① 令 则 024 1 3 5 ( 1) ( 1) , ( ) 2 ( 1) ( 1) , ( ) 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a −−−− + + − + + + + = + − − − + + + = ② ① ②得 奇数项的系数和 ① ②得 偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二 项式系数 2 n Cn 取得最大值。 如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项
式系数Cn2,C2同时取得最大值。 ⑥系数的最大项:求(a+bx)展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为4,A,…A,设第r+1项系数最大,应有{42 A+1≥4+2 从而解出r来 6.二项式定理的十一种考题的解法去: 项式定理的逆用 例:Cn+Cn26+C3·62+…+Cn.61 解:(1+6=C+Cn·6+C2·62+C-63+…Cn·6与已知的有一些差距, Cn+C26+C62+…+Cn·6"=(Cn·6+Cn62+…+Cn6") 6 (Cn+Cn6+C2·62+…+Cn6-1)=[(1+6)”-1]=2(7”-1) 6 练:Cn+3C2+9C+…+3Cn 解:设S=Cn+3C2+9C+…+3"C,则 3Sn=Cn3+C232+C33+…+Cn3=C0+Cn3+C232+C3+…+Cn3”-1=(1+3) (1+3)"-14 S
3 式系数 1 2 n Cn − , 1 2 n Cn + 同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求 ( )n a bx + 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为 1 2 1 , , , A A A n+ ，设第 r +1 项系数最大，应有 1 1 2 r r r r A A A A + + + ， 从而解出 r 来。 6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 例： 1 2 3 2 1 6 6 6 . n n C C C C n n n n − + + + + = 解： 0 1 2 2 3 3 (1 6) 6 6 6 6 n n n + = + + + + + C C C C C n n n n n 与已知的有一些差距， 1 2 3 2 1 1 2 2 1 6 6 6 ( 6 6 6 ) 6 n n n n C C C C C C C n n n n n n n − + + + + = + + + 1 1 1 0 1 2 2 ( 6 6 6 1) [(1 6) 1] (7 1) 6 6 6 n n n n = + + + + − = + − = − C C C C n n n n 练： 1 2 3 1 3 9 3 . n n C C C C n n n n − + + + + = 解：设 1 2 3 1 3 9 3n n n n n n n S C C C C− = + + + + ，则 1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 (1 3) 1 n n n n n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C = + + + + = + + + + + − = + − (1 3) 1 4 1 3 3 n n n S + − − = =
题型二:利用通项公式求x”的系数 例:在二项式(+y的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x的项 的系数? 解:由条件知cn2=45,即c2=45,n2-n-90=0,解得n=-9%舍去或n=10, 由 2y=cnx号,由题意-10+2r=3解得r=6 43 则含有x的项是第7项T1=Cx3=210x3,系数为210。 练:求(x2-1)展开式中x的系数? 解:Tn=C(x)-( Cx8-2(-0yx=C(-0yxy,令18-3r=9,则 故x°的系数为C( 21 题型三:利用通项公式求常数项; 例:求二项式(x2+1y的展开式中的常数项? 解:7 令20-3r=0,得r=8,所以 T=C1() 练:求二项式(2x-1y的展开式中的常数项?
4 题型二：利用通项公式求 n x 的系数； 例：在二项式 3 2 4 1 ( )n x x + 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 3 x 的项 的系数？ 解：由条件知 2 45 n Cn − = ，即 2 45 Cn = ， 2 − − = n n 90 0 ，解得 n n = − = 9( ) 10 舍去 或 ， 由 1 2 10 2 4 10 3 4 3 1 10 10 ( ) ( ) r r r r r r T C x x C x r − − − + − + = = ，由题意 10 2 3, 6 4 3 r r r − − + = = 解得 ， 则含有 3 x 的项是第 7 项 6 3 3 6 1 10 T C x x 210 + = = ,系数为 210。 练：求 2 9 1 ( ) 2 x x − 展开式中 9 x 的系数？ 解： 2 9 18 2 18 3 1 9 9 9 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 r r r r r r r r r r T C x C x x C x r x − − − − + = − = − = − ，令 18 3 9 − =r ,则 r = 3 故 9 x 的系数为 3 3 9 1 21 ( ) 2 2 C − = − 。 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式 2 10 1 ( ) 2 x x + 的展开式中的常数项？ 解： 5 20 2 10 2 1 10 10 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 r r r r r r T C x C x r x − − + = = ，令 5 20 0 2 − =r ，得 r = 8 ，所以 8 8 9 10 1 45 ( ) 2 256 T C= = 练：求二项式 1 6 (2 ) 2 x x − 的展开式中的常数项？
解: Tn=C6(2x)(-1)()=(-1)C2()yx2 ,令6-2r=0,得r=3,所以 T=(-1)C6=-20 练:若(x2+)的二项展开式中第5项为常数项,则n= T=C#(x2)(-)2=Cnx2n12 解 令2n-12=0,得n=6 题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项; 例:求二项式(√x-√x)展开式中的有理项? 解:1=C(x2)(x)y=(-)Cx°,令6∈710≤9)得=减=9 27-r 4 所以当r=3时,6 当r=9时 题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 例:若(2-1y展开式中偶数项系数和为256求n 解:设√x展开式中各项系数依次设为4,a 令x=-1,则有+a+=0①,令x=1,则有 将①-②得:2a4+a+a+…)=-2,a+a+a
5 解： 6 6 6 2 1 6 6 1 1 (2 ) ( 1) ( ) ( 1) 2 ( ) 2 2 r r r r r r r r r T C x C x r x − − − + = − = − ，令 6 2 0 − =r ，得 r = 3 ，所以 3 3 4 6 T C = − = − ( 1) 20 练：若 2 1 ( )n x x + 的二项展开式中第 5 项为常数项，则 n = ____ . 解： 4 2 4 4 4 2 12 5 1 ( ) ( ) n n T C x C x n n x − − = = ，令 2 12 0 n− = ，得 n = 6 . 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 3 9 ( ) x x − 展开式中的有理项？ 解： 1 1 27 2 9 3 6 1 9 9 ( ) ( ) ( 1) r r r r r r T C x x C x r − − + = − = − ，令 27 6 r Z − ,( 0 9 r )得 r r = = 3 9 或 ， 所以当 r = 3 时， 27 4 6 − r = ， 3 3 4 4 4 9 T C x x = − = − ( 1) 84 ， 当 r = 9 时， 27 3 6 − r = ， 3 9 3 3 10 9 T C x x = − = − ( 1) 。 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若 2 3 2 1 ( )n x x − 展开式中偶数项系数和为−256 ，求 n . 解：设 2 3 2 1 ( )n x x − 展开式中各项系数依次设为 0 1 , , , n a a a 令x = −1,则有 0 1 0, a a a + + = n ①， 令x =1,则有 0 1 2 3 ( 1) 2 , n n n a a a a a − + − + + − = ② 将①-②得： 1 3 5 2( ) 2 , n a a a + + + = − 1 1 3 5 2 , n a a a − + + + = −