CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数方程 上述问题的解决充分体现了坐标法思想. 例1已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2, BE,CF分别为边AC,AB上的中线,建立适当的平面直 角坐标系探究BE与CF的位置关系 解:如图1-3,以△ABC的顶点A为原点O,边AB 所在的直线为x轴,建立直角坐标系.由已知,点A,B, F的坐标分别为 O(A) 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为 由b2+c2=5a2,可得到|AC|2+|AB|2=5BC|2,即 x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]. 整理得 x2+2y2+2c2-5 因为 O巴丁 B·CF= (=x)-2 dati. com 因此,BE与CF互相垂直 探宽 你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐 标系下解决问题的过程,你认为建立直角坐标系时应注意些什么? 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 在三角函数图象的学习中,我们研究过下面一些问题: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? 如图1-4,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标y不变,将横坐标 缩为原来的2,那么正弦曲线y=sinx就变成曲线y=sin2x 4■
第一讲坐标系 第一 VEsNa 图 0 D.。 从平面直角坐标系中的点的对应关系出发,你认为“保持纵坐标y不: 变,将横坐标x缩为原来的。”的实质是什么? 000000000000000。000000。0。鲁0000D00000D00000。 实际上,“保持纵坐标y不变,将横坐标x缩为原来的”是一个坐标的压缩变 换,即 设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,保持纵坐标y不变,将横坐标x缩为原 来的,得到点P(x,y),那么 cin coo 我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换 (2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 如图1-5,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变,将纵坐标 伸长为原来的3倍,那么正弦曲线y=sinx就变成曲线y=3sinx 图1-5 5
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数万程 从平面直角坐标系中的点的对应关系出发,你认为“保持横坐标x不 变,将纵坐标y伸长为原来的3倍”的实质是什么? 实际上,“保持横坐标x不变,将纵坐标y伸长为原来的3倍”是一个坐标的伸长变 换,即 设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,保持横坐标x不变,将纵坐标y伸长为 原来的3倍,得到点P(x,y),那么 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换 (3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 实际上,这是上述(1)(2)的“合成”:如图1-6,先保持纵坐标y不变,将横坐标 x缩为原来的;在此基础上再将纵坐标y变为原来的3倍,就可以由正弦曲线y=snx 得到曲线y=3sin2x. Www. mNvan/com 图1-6 与上述讨论一样,设平面直角坐标系中的任意一点P(x,y)经过上述变换后变为点 (x,y2),那么 2 y 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
第一讲坐标系 第持 下面给出平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义 定义设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 x=A·x,(A>0), y=·y,(>0). 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 上述①②③都是坐标伸缩变换.在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩.例如, 在伸缩变换③的作用下,正弦曲线y=sinx变换为曲线y=3sin2x.因此,平面图形的伸 缩变换可以用坐标伸缩变换来表示 例2在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形 (1)2x+3y (2)x2+y2=1. 解:(1)由伸缩变换 得到 y 豆丁 将⑤代人2x+3y-0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是 2x+3y=0 +y=0. 因此,经过伸缩变换 后,直线2x+3y=0变成直线 +y=0(图1-7) (2)将⑤代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方 程是 图1-7 r/ +yo 因此,经过伸缩变换 后,圆x2+y2=1变成椭圆 +y =1(图1-8). 由上所述可以发现,在伸缩变换④下,直线仍然变成直线 而圆可以变成椭圆 图1-8 7
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数方程 在伸缩变换④下,椭圆是否可以变成圆?抛物线、双曲线变成什么曲线? 习题 1.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹 2.已知点A为定点,线段BC在定直线l上滑动,已知|BC|=4,点A到直 线l的距离为3,求△ABC的外心的轨迹方程 3.用两种以上的方法证明:三角形的三条高线交于一点 4.在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 y=oy 后的图形 (1)+=1 (2) 1812=1 (3)y2=2x 3.2 5,在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线C变为曲线x2+9y2=9, y 求曲线C的方程并画出图象 6.在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换 (1)直线x-2y=2变成直线2x-y=4; (2)曲线x2-y2-2x=0变成曲线x2-16y2-4x=0. 二极坐标系 在解决本节开头的问题时,我们用“在信息中心的西偏北45°方向,距离680√10m 处”描述了巨响的位置.实际上,这是以信息中心为基点,以正西方向为参照,用与信息 中心的距离和与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.这是日常生活中常用的刻画位置的 方法,体现了极坐标思想 8