《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第4章 向量组的线性相关性 4.4 向量空间

例4设a,b为两个已知的n维向量，集合 V={x=2a+b,u∈R} 试判断集合是否为向量空间. 解V是一个向量空间因为若1=a+4b x2=2a+42b,则有 x1+x2=(21+22)M+(41+2)b∈V, kc1=(k2)a+(ku)b∈V. 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空 间

例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b,  R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a +  2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 +  2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空

般地，由向量组a1,2,m所生成的向量空 间为 V={=元a1+3a2+.+namh1,n∈R 例5 设向量组a1,am与向量组b1,b,等价， 记 V1={x=九a1+22+.+m0m21,2,m∈R} V2=c=41b1+42b2+.+4,b,1,42,4∈R 试证：V1=V2

V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++  m m 1 ,2 ,  , m  间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为     . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + +  = = + + +  试证： 记 设向量组 与向量组 等价，                 例 5  

证设x∈Y,则x可由a,am线性表示 因a1,am可由b1,b,线性表示，故x可由b1, b,线性表示，所以x∈V 这就是说，若x∈V,则x∈V2, 因此VcV2 类似地可证：若x∈V2,则x∈Y, 因此y,cy 因为VcV2,2cy,所以V=Vz

, , . 证 设xV1，则x可由a1  am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1  V2，V2  V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1  1  1  . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1  V2 . 因此V2  V1