十..a1x+a an+bn)x”+(an1+b/ +(bnx+bn-x”+ b,x+bo) +…+(a1+b1)x+(a0+b) (anx”+an1x+…+a1x+a) na x"th e +…+ P[x,对加法和数乘都封闭
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 ( ... ) ( ... ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ... ) ... [ ] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x a x a x a b x b x b x b a b x a b x a b x a b a x a x a x a a x a x a P x − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = + + + 对加法和数乘都封闭
例3.n次多项式的全体 Q [x]=p=anr+am-x-++a,x R,且an≠O} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间 Q0p=0x2+0x+…+0x+0≠Q[xn Q[x对多项式的加法与数乘运算不封闭
1 1 1 0 1 1 0 1 [ ] ... | , ,..., , , 0} 0 0 0 ... 0 0 [ ] 3. [ ] n n n n n n n n n n n n n Q x p a x a x a x a a a a a R a p x x x Q x Q x − − − − = = + + + + = + + + + Q 次多项式的全体 且 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间。 对多项式的加法与数 例 乘运算不封闭
例4.正弦函数的集合 S[x]=(s= Asin(x+B)A, BERI 对于通常的函数及数乘函数的乘构成线 性空间。 S,+S2=A sin(x+ B)+A, sin(x+ B,) (a,sin x+ b, cosx)+(a2 sin x+b2 cos x) (a,+a2)sinx+(6,+b2)cos x= Asin(x+BESIx ns,=nA, sin(x+B=(n Aisin(+BESIx S[x是一线性空间
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 [ ] { sin( ) , } sin( ) sin( ) ( sin cos ) ( sin cos ) ( )sin ( )cos sin( ) [ ] sin( ) ( )sin . ) 4 ( S x s A x B A B R s s A x B A x B a x b x a x b x a a x b b x A x B S x s A x B A x B = = + + = + + + = + + + = + + + = + = + = + 正弦函数的集合 对于通常的函数及 数乘函数的 例 乘构成线 性空间。 [ ] [ ] S x S x 是一线性空间
例5在区间[a,b上个体实连续函数, 对函数的加法与数和函数的数量乘法, 构成实数域上的线性空间
5. [ , ] 在区间 a b 上个体实连续函数， 对函数的加法与数和函数的数量乘法， 构成实数域上 例 的线性空间
例6.n个有序实数组成的数组的全体 1~2:… ∈R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的 乘法:②(x1x2…,xn)=(0,0,,0) 不构成线性空间。 Q虽然S"对运算封闭,但1⑧X=0 不满足第五条运算律。由于所定义的不 是线性运算,所以S"不是线性空间
( ) T 1 2 1 2 T 1 2 ( , ,..., ) | , ,..., , ,..., (0,0 ... 0) 6. 1 n n n n n n n S x x x x x x x x x S S = = = = X R Q X 0 个有序实数组成的数组的全体 对于通常的有序数组的加法及如下定义的 乘法： ，， 不构成线性空间。 虽然 对运算封闭，但 不满足第五条运算律。由于所定义的不 是线性运算，所以 不是线 例 性空间