例7正实数的全体,记作R,在其中定 义加法及数乘运算为 a⊕b=ab2⑧a=a(a,b∈R,∈R 验证,R对上述加法及数乘运算构成线 性空间。 证明:a、b∈R+→a⊕b=ab∈R a∈R+,V∈R→28a=a∈R+ 对定义的加法与数乘运算封闭
, 7 ( , , ) . R a b ab a a a b R R R a b R a b ab R a R R a a R + + + + + + + = = = = 正实数的全体，记作 在其中定 义加法及数乘运算为 验证， 对上述加法及数乘 例 运算构成线 性空间。 证明： 、 ， 对定义的加法与数乘运算封闭
下面来证明上述两种运算满足八条运算 规律: aob=ab=ba=6o a (2 )(aob)oc=(ab)oc=abc= a(bc) =a⊕(bc)=a(atb (3)R中存在零元素1,对于任意a∈R 有 aol=al=a (4)Va∈R有a∈Rtaa
1 1 1 (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 1 1 1 (4) 1 a b ab ba b a a b c ab c abc a bc a bc a a b R a R a a a a R a R a a aa + + + − + − − = = = = = = = = = = = = 下面来证明上述两种运算满足八条运算 规律： 中存在零元素 ，对于任意 有 有
(5)1a=a=a (6)VA∈R,a∈R, ∞(18a)=(a)=(a (7)4(ab)=(a⊕b)=(ab)2=(a)(b) (a)y(b)2=(a)(2四b) (8)(+)a=a44=a2a a“=(1a)(8a)
1 (5) 1 (6) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8) ( ) ( ) a a a R a R a a a a a a b a b ab a b a b a b a a a a a a a + + = = = = = = = = = = = + = = = = 、 ， ， ( ) a
二、线性空间的性质 1零元素是唯一的 证明:假设0,O是线性空间中的两个零元素, 则对于∨a∈V,有:a+0=a,a+02=a 由于O10,∈V 0+0,=01、0,+01=0 01=01+02=02+01=02 2.负元素也是唯一的 证明:设a有两个负元素B与y,则 a+fB=0,a+=0 =y+0=+a+B=(+a)+B=0+fB=B
二、线性空间的性质 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1. . , 2. , ( ) + = + = + = + = = + = + = + = + = = + = + + = + + = + = 0 0 V α V α 0 α α 0 α 0 0 V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 α β γ α β 0 α γ 0 γ γ 0 γ α β γ α β 0 β β 零元素是唯一的 假设 是线性空间 中的两个零元素， 则对于 ，有： ， 由于 、 、 负元素也是唯一的。 设 有两个负元素 证明： 证明： 与 ，则：
3.0a=0;(-1)a=-0;20=0. 证明:Qa+0a=(1+0)0=1a=a 0a=0 Qa+(-1)a=(1-1)a=0a=0 (-1)a=-a 10=[a+(-1)a]=λa+(-x)a [+(-)]a=0a=0
3. 0 ( 1) . 0 (1 0) 1 0 ( 1) (1 1) 0 ( 1) [ ( 1) ] ( ) [ ( )] 0 = − = − = + = + = = = + − = − = = − = − = + − = + − = + − = = Q Q α 0 α α 0 0 α α α α α α 0 α α α α 0 α α 0 α α α α α α 0 证 ； ； 明：