设a、月、γ∈V,∈R (1)a+B=B+a (2)(a+B)+y=a+(B+) (3)30∈V,对a∈V,都有a+0=a (4)a∈V,3B∈V,都有a+B=0 (5)1a=a (6)A(10)=(4)a (7)(+)0=a+ (8)(a+B)=a+AB
(1) (2) ( ) ( ) (3) (4) (5) 1 (6) ( ) ( ) (7) ( ) (8) ( ) λ μ + = + + + = + + + = + = = = + = + + = + α β γ V R α β β α α β γ α β γ 0 V α V α 0 α α V β V α β 0 α α α α α α α α β α β 设 、、 ， 、 ，对 ，都有 ， ，都有
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算,称 为线性运算. 2.向量空间中的向量不一定是有序数组 3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定义 的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八 条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称 为线性运算． 2.向量空间中的向量不一定是有序数组． 3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义 的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八 条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空 间
线性空间的判定方法 (1)个集合,如果定义的加法和乘数运算是通 常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算的 封闭性 (2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是 通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否满 图足八条线性运算规律
线性空间的判定方法: (1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通 常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的 封闭性． (2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是 通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满 足八条线性运算规律．
例1实数域上的全体m×n矩阵,对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间,记作Rm Q Amm+B A D m×n mxn 2 m×n m×n R m×n 是一个线性空间
. , 1 . m n m n m n m n m n m n m n m n R A B C A D R + = = Q 实数域上的全体 矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作 是一个 例 线性空间
例2次数不超过r多项式的全体记作 P[x,即: P[x]=p 十..+a1X tan.a ∈R 对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。 通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性运算规律
1 1 1 0 1 1 0 [ ] [ ] ... | , ,..., , 2. n n n n n n n n n P x P x p a x a x a x a a a a a − − − = = + + + + R 次数不超过 的多项式的全体记作 ，即： 对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。 通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性 例 运算规律