中国矿亚大警CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY二、收敛性和误差估计定理1设(x）在[a,bl上有连续的一阶导数且满足(1)Vxe[a,b],有a≤(x)≤b(2)存在L: 0 ≤ L<1,使p'(x)|≤L,x=[a,b]则I.方程x=p(x)在[a,b]上有唯一根xII.Vxe[a,b],送代格式x=p(x)收敛于x证明
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 二、收敛性和误差估计 [ ] [ ] (1) , , ( ) . (2) : 0 1, ( ) , , . x ab a x b L L x Lx ab ϕ ϕ ∀∈ ≤ ≤ ≤< ≤ ∈ ′ 有 存在 使 证明 定理 1 设 在 ϕ( ) x [ a, b ]上有连续的一阶导数且满足 则 Ⅰ. 方程 在 x x = ϕ( ) [ a, b ]上有唯一根 * x Ⅱ. ∀ ∈ x ab 0 [ , ,] 迭代格式 收敛于 x x = ϕ( ) * x
中国矿亚大医CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY定理2若在方程x=Φ()的根x*的某邻域R=(x1x-xk8）内存在，且存在L：0≤L<1，使I0'(x)<L<1,xER则对VxER选代格式xk+=(x收敛于x，且有下列误差估计式[x"-x≤-LXK-Xk-1[x-x≤x-xol反之，若在方程x=0(x）的根*的某邻域R内l（x）>1则选代发散
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY * 1 * 1 0 1 1 k kk k k L xx xx L L xx xx L −≤ − − − −≤ − − 定理 2 若在方程 的根x x x = ϕ( ) *的某邻域 R = * {| | } xx x − < δ 内存在，且存在 L ： 0 ≤L<1，使 | ( ) | 1, ϕ′ x ≤ L xR < ∈ 则对 迭代格式 收敛于 x ∀x 0 ∈ R , xk k + 1 = ϕ( ) x *，且 有下列误差估计式： 反之 ,若在方程 的根x x x = ϕ( ) *的某邻域 R 内 |ϕ′( ) x |> 1, 则迭代发散
中国矿基大业CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY证明(1)对VxER[x*-(x)/=(x*)-(x) / =() l/x*-x |≤LIx*-x<LS<o所以Φ(x)ER,又在R中定理1中条件(2)已经满足，故由定理1可得选代收敛于x*(2) 又:x-x≤Lx*-Xk-1≤L(x*-x+x-Xk-1故[x"-XXk-1可用×+1一来控制收敛精度
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY ∀x R ∈ | ( )| x x ϕ ∗ − | ( ) ( )| ϕ ϕ x x ∗ = − | ( )|| | ϕ ξ x x ∗ = ′ − Lx x L | | δ δ ∗ ≤ −≤ < * * 1 (2) k k x x Lx x − 又 ∵ −≤ − * 1 ( ) Lx x x x k kk − ≤ −+− * 1 1 k kk L xx xx L −≤ − − − 故 可用 来控制收敛精度 | | k 1 k x − x + 所以 ϕ( ) x R ∈ ,又在 R中定理 1中条件(2)已经满足， 故由定理 1可得迭代收敛于 x * 证明 (1) 对
中国矿亚大业CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY(3) 再x-x-1 =0(xk-1)-(xk-2)≤ LXk-1 - Xk-2≤...≤ Lk-1|x -xol-Xk≤1L越小，收敛越快注：Φ(x)>的情形
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY ≤ k − 1 − k − 2 L x x . 1 0 1 L x x k ≤ ≤ − " − . 1 1 0 * x x L L x x k k − − ∴ − ≤ 注 的情形 : () 1 . ϕ ′ x > 1 (3) k k x x − 再 − 1 2 ( )( ) k k ϕ ϕ x x = − − − L 越小,收敛越快
中国矿亚天整CHINAUNIVERSITYOF MININGAND TECHNOLOGY例2:用选代法求 x3 - x2 -1=0 在[1.3,1.6]内的根解：建立下面三个迭代格式：112) u=(+xy 3) Xu=(x-1y1) Xk+1 =1+一,X格式1)、2)收敛，且2)收敛速度快，3)发散22~ 0.901<1x e[1.3,1.6][@'(x)] =1.331.62x≤2x e[1.3,1.6] |g(x)]=2)23 ~ 0.5515<12/33(1+1.3°)3(1+x)11x e[1.3,1.6] '(x)2(16-1) 1.0758 12(x-1)"2
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例 2 ：用迭代法求 在 1 0 [1.3,1.6]内的根 3 2 x − x − = 解：建立下面三个迭代格式： 1 2 1 1) 1 k + = + k x x ( ) 1 3 2 2) 1 1 / k k x = + x + ( ) 1 1 2 1 1 3 ) / k k x x − + = 格式1) 、2)收敛，且2)收敛速度快，3)发散 3 3 2 2 [1 3 1 6] ( ) 0 901 1 1 3 x .,. x . x . ∈ ϕ′ =≤ ≈ < ( ) ( ) 2/3 2/3 2 2 2 1.6 [1.3,1.6] ( ) 2 0.5515 1 3 1 3 1 1.3 x x x x ∈ ϕ′ = ≤ ≈< + + ( ) ( ) 3/2 3/2 1 1 [1 3 1 6] ( ) 1.0758 1 2 -1 2 1.6 1 x .,. x x ∈ ϕ′ = ≥ ≈> −