中国矿亚大鉴CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY一、基本思想与迭代格式设x是x=@(x）的精确解：x*=(x）任取x（一般±x），p(x）≠x，记xi =p(x)x, =p(x)Xk+1 = (xk)得到一序列x.如果（x的极限存在，必有limXk=xk→80
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 一、基本思想与迭代格式 * ** xx x x x 是 的精确解 = = ϕ ϕ ( ) : ( ). * 0 任取 一般 x x ( ), ≠ ( ) , * 0 ϕ x ≠ x 记 ( ) 1 0 x = ϕ x ( ) 2 1 x = ϕ x ( ) k 1 k x = ϕ x + { } . k 得到一序列 x * lim . k k x x →∞ 必有 = { } , k 如果 的极限存在 x 设
limx,=X中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGYk>00x*=limX= limp(xk-1)k→>0k-00=p(limxk-1) =Φ(x*)0p(x)基本迭代格式迭代函数Xk+1=0(x)limx=x迭代收敛limx不存在迭代发散k-80k80Ohyeah?Whotellsyou that the methodis convergent?-oblem?
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 基本迭代格式 迭代函数 迭代收敛 迭代发散 ( ) * = ϕ x k k x x → ∞ = lim * lim ( ) − 1 → ∞ = k k ϕ x (lim ) − 1 → ∞ = k k ϕ x ( ) k 1 k x = ϕ x + ϕ ( x ) * lim k k x x →∞ = lim k k x →∞ 不存在 * lim k k x x →∞ = So basically we are done! I can’t believe it’s so simple! What’s the problem? Oh yeah? Who tells you that the method is convergent?
中国矿亚大警CHINAUNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY几何意义：J=x求x=(x）的根求的交点（的横坐标）y=p(x)y(x)J=2y=xP(x1)y=(x)p(xo)XP(xo)P(x))1110收敛@ (x)<1-XX1X2X2Xi发散β (x)>1发散情形是否正确？收敛情
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 几何意义: ←⎯收敛情形 ⎯⎯⎯ ⎯ 发散情形 ⎯⎯⎯→ 求 的根 x x = ϕ( ) ( ) y x y ϕ x ⎧ = ⇔ ⎨ ⎩ = 求 的交点 (的横坐标 ) 是否正确 ? ϕ ′ ( x ) < 1 收敛 . ϕ ′ ( x ) > 1 发散
中国矿亚大整CHINAUNIVERSITY OFMININGANDTECHNOLOGY例1:用选代法求 x3 -x2-1=0 在[1.3,1.6]内的根解：建立下面三个迭代格式：112) =(+x) 3) ×=71) xk+ =1+一(x -1)/2书取选代初值xc=1.3(或1.6)，编程可得如下结论：格式1)、2)收敛，且2)收敛速度快，3)发散注：在使用迭代法计算的时候，必须注意考虑：(1)如何构造收敛的迭代格式(2)如何建立收敛快的迭代格式
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例 1 ：用迭代法求 在 1 0 [1.3,1.6]内的根 3 2 x − x − = 解：建立下面三个迭代格式： 1 2 1 1) 1 k + = + k x x ( ) 1 3 2 2) 1 1 / k k x = + x + ( ) 1 1 2 1 1 3 ) / k k x x − + = 取迭代初值x 0=1.3( 或1.6) ，编程可得如下结论 ： 格式1) 、2)收敛，且2)收敛速度快，3)发散 注：在使用迭代法计算的时候，必须注意考虑： (1)如何构造收敛的迭代格式 (2)如何建立收敛快的迭代格式
中国矿基天整CH选代结果ININGAND选代2结果迭代3结果1.3000000x(1)1.30000001.3000000x(2)1.59171601.39075541.8257419x(3)1.39470161.43162721.10046911.51408791.4501476x(4)3.15488661.4362122x(5)1.45855870.6812206x(6)1.48480021.46238200.0000000x(7)1.45359051.46412070.3535041x(8)1.47327751.46491140.3905038x(9)1.46071351.46527110.4523004x(10)1.46867301.46543470.4742852x(11)1.46360681.46550910.48756581.4668219x(12)1.46554300.4936729x(13)1.46477771.46555840.4968626x(14)1.46607581.46556540.4984245x(15)0.49921391.46525081.4655686
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 迭代 1结果 迭代 2结果 迭代 3结果 x( 1) 1.3000000 1.3000000 1.3000000 x( 2) 1.5917160 1.3907554 1.8257419 x( 3) 1.3947016 1.4316272 1.1004691 x( 4) 1.5140879 1.4501476 3.1548866 x( 5) 1.4362122 1.4585587 0.6812206 x( 6) 1.4848002 1.4623820 0.0000000 x( 7) 1.4535905 1.4641207 0.3535041 x( 8) 1.4732775 1.4649114 0.3905038 x( 9) 1.4607135 1.4652711 0.4523004 x(10) 1.4686730 1.4654347 0.4742852 x(11) 1.4636068 1.4655091 0.4875658 x(12) 1.4668219 1.4655430 0.4936729 x(13) 1.4647777 1.4655584 0.4968626 x(14) 1.4660758 1.4655654 0.4984245 x(15) 1.4652508 1.4655686 0.4992139