←概率论》 例3设X和Y的联合密度为f(xy),求Z=X+Y 的概率密度 解z=X+Y的分布函数是 J F(z)=P(Z≤z) P(X+Y≤z l f(x, y)dxdy rty=z 这里积分区域D={(x,y):xysz 它是直线x+y=及其左下方的半平面
概率论 例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. D f (x, y)dxdy 这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 解 Z=X+Y的分布函数是: FZ z P Z z P X Y z 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面. x y z x y 0
←概率论》 J F2(a)=f(x,y)dxdy +y≤z 化成累次积分得 F2(x) f(x, y)dx dy rty=z 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=uy 得 F2(z)=」f(a- y,y)dudy ∫∫f(m-y)dm 变量代换 交换积分次序
概率论 化成累次积分,得 x y z Z F (z) f (x, y)dxdy z y FZ (z) [ f (x, y)dx]dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y, 得 z FZ (z) [ f (u y, y)du]dy z [ f (u y, y)dy]du 变量代换 交换积分次序 x y z x y 0 y
←概率论》 F2(2)=5[f(u-V,y)dyldu 由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X的概率 密度为: fi(z)=F2(2)= f(z-y,y)dy 由X和Y的对称性,z(z)又可写成 fi(z)=F(2)=f(x,z-x)dx 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式
概率论 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 f z F z f z y y dy Z Z ( ) ( ) ( , ) ' 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. fZ (z) FZ (z) f (x,z x)dx ' z FZ (z) [ f (u y, y)dy]du
←概率论 特别地,当X和Y独立,设(X,关于X,Y的边 缘密度分别为(x),f1),则上述两式化为 2(2)=f4(=-y)(y) fi()=/(x)fr(2-x)dx 卷积公式 下面我们用卷积公式来求z=X+Y的概率密度
概率论 特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY (y) , 则上述两式化为: f z f z y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( ) f z f x f z x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度. 卷积公式
←概率论》 例4若X和Y独立,具有共同的概率密度 0<x<1 f(x)= 0.其它 求Z=X+Y的概率密度 解由卷积公式 fi(z)=x(x)fr(3-x)dx 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0<x<1 0<x<1 也即 0≤z-x≤1 z-1≤x≤z
概率论 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度 . 0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x fZ (z) fX (x) fY (z x)dx 解 由卷积公式 0 1 0 1 z x x 也即 z x z x 1 0 1