←概率论 第五节条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结布置作业
概率论 第五节 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结 布置作业
←概率论 三、全概率公式 看一个例子 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率 解记A={球取自号箱}, ③③③ i=1,2,3; 2 3 B={取得红球} 其中A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1,A2,43之一同时发生
概率论 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率. 解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 1 2 3 其中 A1、A2、A3两两互斥 看一个例子: 三、全概率公式
←概率论 即B=A1B+A2B+A3B 且A1B、A2B、A3B两两互斥 运用加法公式得到 P(B)=P(A1B)+P(42B)+P(3B) 对求和中的每 3 项运用乘法 公式得 P(B)=∑P(4)P(B|4) 代入数据计算得:P(B)8/15 将此例中所用的方法推广到一般的情形,就 得到在概率计算中常用的全概率公式
概率论 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每 一项运用乘法 公式得 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) = = 3 i 1 P B P Ai P B Ai ( ) ( ) ( ｜ ) 代入数据计算得：P(B)=8/15 运用加法公式得到 即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
←概率论 定义设S为随机试验E的样本空间,B1,B2…,Bn 是E的一组事件,如果满足 (1) B. B (≠ (2)B1∪B2∪..∪Bn=S 则称B1,B2y…,Bn为完全事件系,或称B1,B2…,Bn 为S的一个划分 注意渃B1,B2,Bn为样本空间的一个划分, 则对每次试验,事件组B1,B2,Bn中必有且仅有 个事件发生 可见,S的划分是将S分割成若干个互斥事件
概率论 定义 , , , , 设 S 为随机试验 E 的样本空间 B1 B2 Bn 是 E的一组事件,如果满足 ( ) B B (i j) 1 i j = (2) B B B S 1 2 n = , , , , , , , 则称 B1 B2 Bn 为完全事件系 或称 B1 B2 Bn 为 S 的一个划分. 注意:若 , , , 为样本空间的一个划分, B1 B2 Bn 则对每次试验,事件组 B1 ,B2 ,,Bn 中必有且仅有 一个事件发生. 可见 ,S 的划分是将 S 分割成若干个互斥事件
←概率论 定理1设试验E的样本空间为S,B1,B2…,Bn 为S的一个划分,且P(B)>0(=1,2,…,n,则对 样本空间中的任一事件A,恒有 P(A)=∑P(B)P(4B) i=1 证明因为A=AS=A(B1∪B2∪.Bn) AB,∪AB,∪ ●。 ∪AB 并且AB1∩AB1=q,(≠,所以 P(A=P(AB)+P(AB2)+.+P(AB,) =P(BP(A B,)+.+P(BP(A Bn) ∑P(B;)P(4|B)
概率论 定理 1设试验 E 的样本空间为S ,B B Bn , ,, 1 2 为 S 的一个划分 ,且 P(Bi ) 0 (i = 1,2,,n),则对 样本空间中的任一事件A,恒有 ( ) ( ) ( ) = = n i i Bi P A P B P A | 1 证明 因为 A = AS ( ) = A B1 B2 Bn = AB1 AB2 ABn 并且 ABi ABj = ,(i j),所以 ( ) ( ) ( ) ( ) P A = P AB1 + P AB2 ++ P ABn ( ) ( ) ( ) ( ) n Bn = P B P A | B ++ P B P A | 1 1 ( ) ( ) = = n i i Bi P B P A | 1