第1章行列式 ·33· I r .x- 1a4 a .a- (4)设方程1a .a1=0,其中a,(i=1,2.,n-1)互不 1a。-1a2-1.a0- 相等，则方程的全部解为 12345 55533 (5)设D=32542,则A1十A2十A3= ,At十As= 22211 46523 ,A1十A2十Aa十A4十As= 2.选择题 L,n阶行列式D非零的充要条件是 A.D的所有元素非零 B.D至少有n个元素非零 C.D的任意两列元素之间不成比例 D.以D为系数行列式的线性方程组有唯一解 入x十y十z=0, (2)已知齐次线性方程组入x十3y一=0，仅有零解，则 -y十λz=0 A.A≠0且A≠1B.A≠0或A≠1C.A=0且A=1D.A=0或=1 z yy (3)y r y= yy r A.(x-y)3 B.(x+2y)(x+y)2 C.(x+2y)(x-y) D.(x-2y)(x+y) ananan 2a12a122a1s (4)若D ,则D1= A.2D B.-2D C.8D D.-8D 3.计算行列式 112 -12 103100204 (1)199200395: 3015 (2) 301300600 1 -203 -2-416
34 线性代数学习指导 -11x-1 -1x+1-1 (3) x-11 -1 x+1 -1 1 -1 11-a 0 0 0 -1 1-a 0 0 (4) 0 -11-a 0 0 0 -11-a a 0 0 0-11-a a1+111. 1 1 a2+11. 1 (5) aag.an≠0. 1 1 1.an+1 4.证明题 by+az bz+ar br+ay x y z (1)证明bx+ayby+azbz+ar=(a+b):xy； bztar brtay by+az y z r a11.1 1a0.0 (2)求证D=10a2.0 100.a 5.(1)用克拉默法则解方程组 x1+2x2-x+3x4=2, 2x-x+3x1-2x1=7 3x-+x4=6, 一十x+4x=-4: x+y十x=a, a b c (2)已知方程组x十y一=，有唯一解，且x=1,计算311 (x-y十z=c 11-1 λx1十x2+x=0, 6.问入，μ取何值时，齐次线性方程组x十2十x=0,有非零解？ x1+2十x=0
第2章矩阵与向量 一、基本要求 (1)了解线性方程组的加减消元法与矩阵的初等行变换的关系。 (2)熟悉掌握向量的线性运算及其运算律. (3)熟练掌握用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵以及行最简形的 方法 (4)熟悉向量线性组合以及线性相关性的概念、性质、定理和有关结论，并能 用以判断向量组的线性相关性， (5)熟悉向量组等价的概念、性质以及常用结论，并能用以判断向量组是否 等价. (6)熟悉向量组的最大无关组的概念、性质，掌握求向量组的最大无关组的方法 (7)了解向量组和矩阵的秩的概念，并能熟练地使用矩阵的初等行变换求秩， (8)重点掌握用向量组的秩判断向量组线性相关性、用初等行变换求向量组 的最大无关组的方法，以及用初等变换找出向量间的线性关系的方法， (9)初步了解向量空间、基、维数、子空间等概念，会求向量在一个基下的 坐标. 二、内容提要 1.概念 1)矩阵 由m×n个数a,(i=1,2,.,m:j=1,2,.,n)排成的m行n列的数表 「a1agam A a2a2.a amla.an 称为m行n列矩阵，简记为A=(a,)m×n或Am× 2)阶梯形矩阵 形如
·36· 线性代数学习指导 c1C12.crc1+1.cn 0c.ccm1.c 0 0.ccr+1. 0 0.00 0 Lo 0.0 0 . 0」 的矩阵称为阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵的特点为：每个阶梯只有一行：元素不全为零的行（非零行）的第 个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）：元 素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面 3)行最简形 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为1，且这个1所在列的其余 元素全为零，则该矩阵称为行最简形 4)标准形 矩阵 「10.00.0 01.00.0 1mxm=00.10.0 00.00.0 00.00.0 称为矩阵Am×.的标准形 5)初等变换 下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换： (1)交换矩阵的i,j两行（列），记作rr,(c,→c): (2)以非零数k乘以矩阵的第i行（列）的所有元素，记作r×k(c,×k): (3)把第j行（列）所有元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，记作十 kr(c十kc,. 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。 6)矩阵的等价 矩阵A经过初等变换化为矩阵B,称A与B等价，记作A~B
第2章矩阵与向量 ·37· 7)向量 n个实数构成的有序数组(a,a2,.,an)称为一个n维行向量，记作a,即 a=(a1a2.,an） 称 =(a1a,.,an) 为n维列向量 以上实数a,称为向量a的第i个分量. 所有分量均为零的向量称为零向量，记作0=(0,0，.，0). n维向量a=(a1a2.,an)的负向量一a=(一a1,一a2,.,一an）. 如果n维向量a=(a1,a2,an),B=(b,b.,b)的对应分量都相等，即 a,=b,i=1,2.,n 则称向量a与B相等，记作a=B 8)向量的线性运算 设向量a=(a1,ae.,a),B=(b,b,.,bn). (1)加法：a十B=(a十6，a2十h.,a.十b). (2)数与向量的乘法：a=(aa1,a4,.,Aan)(a∈R). 9)线性组合 对于向量a,a1,a,.,a,如果存在一组数1，k2,.,k,使得 a=k1a1十k2a2十.十knam 成立，则称向量a是向量a1,a2,.,a.的线性组合，或称向量a可由向量组a1, a2,.,am线性表示. 10)向量组的等价 若向量组ag1,a,.,a中的每个向量a(i=1,2,.,s)都可由向量组B,.,B 线性表示，则称向量组a,a,.,a,可由向量组B,B,.,B线性表示 如果两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价. 11)线性相关性 对于向量组a1,a.,a,如果存在不全为零的数1，k2,k,使得 ka1十ka十.十kam=0