·28· 线性代数学习指导 (9) 2 1 0.00 0 0 .0 0 1 21.00 2 .0 0 0 12.00 - 0 1 2 D.=2 0 0 . 0 00.21 0 0 0 0 00 .12 0 0 0 1 =2D.-1-D。-2, 即 D,-D。-1=D.-1-Dm-2=.=D2-D 所以 D.=1十D.-1=2+Dn-2=.=n-1+D=n十1 (10) 012.n-2n-1 1-1-1.-1-1 D 11-1.-1-1 n二n 11.-1 -1 111.1-1 n-11+(n-1)2+(n-1).n+2+(n-1)n-1 0 -2 -2 . -2 -1 +8 0 -2 -2 -1 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -1 =(n-1)(-2)2(-1)=(-1)1(n-1)2-2
第1章行列式 ·29· (11) a -10.0 0 0a十x-1.0 D1- n-m 000.a+x-1 0 0 0. 0 a+r =a(a+x)-t. 11.若三次多项式f(x)=aux2+ax2+a1x十ao,当x=1,2,3,一1时，其值分 别为-3,5,35,5，试求f(x)在x=4时的值， 解由已知条件，得方程组 a+a+a+a=-3, a+2a1+4a+8ax=5, a+3a1+9a2+27a=35. ao-a+az-as =5, 其系数行列式 111111111 1 248 0137 1 39 27 015 19 -11-1 0-20 -2 1137 1136 =-21519=-21518 =-2 36 101 100 8 5 =-48. 而 -3111 -3111 5 24 2 4 8 Do= 35 39 35 3 9 27 -11-1 020 -411 =2 24 8 -4 1 1 1010 26 392 2 2 926 26 327 38324 0010 =2 96 38 24 =-24
·30 线性代数学习指导 1-311 1548 D1= =276. 135927 1511 11-31 1258 D=13 35 27 =-24 1-151 111-3 D= 1245 13935 =84. 1-115 由克拉默法则，得 所求多项式 )=-翠+r+ 故 0=支-翠×4+×16+子×64=19 12.某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲、乙、丙三种产品的钢材利用率 分别为60%，70%，80%，年进钢材总吨位为100万吨，年产品总吨位为67万吨， 此外甲、乙两种产品必须配套生产，乙产品成品总质量是甲产品总质量的70%，已 知生产甲，乙、丙三种产品每吨可获利分别为1万元、1.5万元、2万元.问该工厂本 年度可获利润多少元？ 解设甲、乙、丙三种产品分别为x,y,z万吨.由题意得 x+y+2=67, 60%+70%+80%=100. y=70%·x 即
第1章行列式 ·31· x+y+2=67, 若+号+管=10 x-19y=0. 系数行列式 11 1 10 0 10 D- 1-9 0 /1 -9 0 1 -9 13 13 =-7×8×3=-168 16711 D=10 人 1 710 0-19 1671 = 100 111 10 1-90 由克拉默法则，得 x=号=0，y-号-21，-8=16 所以甲、乙、丙三种产品分别为30万吨、21万吨、16万吨，该工厂本年度可获利润为 30+1.5×21+2×16=93.5(亿元). 13.问入取何值时，齐次线性方程组 (A+3)x1+x2+2x=0, x1+(1-1)x+x1=0, 3(A+1)x1+λx:+(入+3)x3=0
·32 线性代数学习指导 有非零解？ 解若方程组有非零解，则方程组的系数行列式等于零，即 +3 1 2 a+2 1 2 入-11 1A-1 1 3(入+1)入入+3 2+3A+3 1 2 1 2 9-00-1 1 -n0-11 0-1A+1 λ-11 =A-iA+1=a-1)=0. 则A=0或入=1. 故当入=0或入=1时，方程解有非零解 14.证明无论a取何值，线性方程组 (a2-2)x1+x-2x=0, -5.+(a2+3)x2-3xr=0, x1+(a2-2)x3=0 只有零解 解系数行列式 a2-21 -2 a2+1 1 -2 D= -5a2+3 -3 m2+1a2+3 -3 1 0 a2+2 -(a2+1)0a2+2 1 1 -2 11 -2 =(a2+1)1a2+3-3 =(a2+1)0a2+2-3 =(a2+1)3≠0， -10a2+2 0 1 a 故线性方程组有唯一解，即零解， 五、自测题 1.填空题 1)排列134782695的逆序数为 1102 (2)已知x31的代数余子式A2=0,则代数余子式A21= 4x2 a+1b+2c+3 (3) ka 1 3