由517)知该解3(满足初始条件()=0 因此,由解的存在唯一性定理知,X(1)≡0 即有a1x()+a2x2()+…+anx()=0,a≤t≤b 故解组x(t),x2(t)…,x、()在a≤≤b上线性相关,矛盾 注1:(5.15)n个解x(1,x()…,x,()线性相关台 W(t)=0,a≤t≤b 注2:(5.15)n个解x(t),x2(t)…,x,(t)线性无关 W(t)≠0,a≤t≤b 即(5.15)n个解x(),x2(1)…,x2(1)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 由(5.17)知, 该解 满足初始条件 x t( ) 0 x t( ) 0 = 因此,由解的存在唯一性定理知, x t( ) 0 即有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t a t b + + + 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 故解组 在 上线性相关, x t x t x t a t b 矛盾 注1: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n (5.15)n个解 线性相关 x t x t x t W t a t b ( ) 0, . 注2: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n (5.15)n个解 线性无关 x t x t x t W t a t b ( ) 0, . 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 即(5.15)n x t x t x t 个解 所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零
(4)定理5(515)定存在n个线性无关的解 证明:任取∈[ab]由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件 0 0 0 0 x1(t0)= 0 0 的解x(t),x2()…,x、(1)t∈[a,b 且W(t)=W[x(t)2x2(t0)…xn(t=1≠0 故x(),x2(t)…,xn(t)在a≤t≤b上线性无关 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 (4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明: 0 任取t a b [ , ], 由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 ( ) , ( ) , , ( ) 0 0 1 n x t x t x t = = = 1 2 ( ), ( ) , ( ); [ , ] n 的解x t x t x t t a b 且 0 1 0 2 0 0 ( ) [ ( ), ( ), ( )] 1 0 W t W x t x t x t = = n 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 故 在 上线性无关. x t x t x t a t b
4通解结构及基本解组 定理6如果x(),x2()…,x2()是5.15)n个线性无关的 解则(1)x(t)=∑cx()是515)的通解, 其中c1,C2,…cn是任常数 (2)(515)的任一解x(1)均可表为 x1(t),x2(t)…xn(1)的线性组合 证明:由已知条件, x(t)=∑crx()是(5.15)的解,它含n个任常数, 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 4 通解结构及基本解组 定理6 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 如果 是(5.15)n个线性无关的 x t x t x t 解,则 1 ( ) n i i i x c x t = 1 2 n (1) (t)= 是(5.15)的通解, 其中c ,c , c 是任常数. 1 2 (2) (5.15) ( ) ( ), ( ) , ( ) n x t x t x t x t 的任一解 均可表为 的线性组合. 证明: 由已知条件, 1 ( ) n i i i x c x t n = (t)= 是(5.15)的解,它含 个任常数
又因为 xu(t) x12(t) x(t (x1,x2,…xn x 21 a(c1,c2…cn)氵 =()≠0 xn(t),(t) 故 C彼此独立, 于是x(t)=∑cx(是(5.15)的通解 (2)设x(1)是(5.15)的任一解,且x(0)=x 因x(t),x()…,x、()是(5.15n个线性无关的解, 从而可知数值向量组x(t0)2x2(t0)…,x,(t线性无关, 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 又因为 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n x x x c c c 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t = = W t( ) 0 , 故c ,c , c 彼此独立 1 2 n 1 ( ) n i i i x c x t = 于是 (t)= 是(5.15)的通解. (2) ( ) (5.15) 设 是 的任一解, x t 0 0 且x t x ( ) , = 1 2 ( ), ( ) , ( ) 5) n 因x t x t x t n 是(5.1 个线性无关的解, 从而可知 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 数值向量组 线性无关, x t x t x t
即它们构成n维线性空间的基,故对向量x()=x 定存在唯一确定常数c1,C2,…cn,满足 x(0)=c1x1(t0)+c2x2()+…+Cnxn(t0,(5.20) 现在考虑函数向量 ()=G1x1(t)+c2x2()+…+Cnxn() 由定理2知,x()是(515)的解, 由(520)知,该解(满足初始条件x()=x(0)=x 因此,由解的存在唯一性定理,应有x(1)=x( 即x()=G1x1(t)+c2x2(1)+…+Cnxn() 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 即它们构成n维线性空间的基, 0 0 故对向量x t x ( ) , = , 一定存在唯一确定常数c,c , c 满足 1 2 n 0 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), (5.20) n n x t c x t c x t c x t = + + + 现在考虑函数向量 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t = + + + 由定理2知, x t( ) (5.15) , 是 的解 由(5.20)知, 该解 满足初始条件 x t( ) 0 0 0 x t x t x ( ) ( ) = = 因此,由解的存在唯一性定理,应有 x t x t ( ) ( ) 即 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t = + + +