《常微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 线性微分方程组（5.2）线性微分方程组的一般理论习题解答

推论1(515)的线性无关解的最大个数等于n 基本解组:(5.15)n个线性无关解x(1),x2()…,x1(1 为(515)的一个基本解组 注1:(5.15)的基本解组不唯 注2:(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间 注3:由n阶线性微分方程的初值问题(56)与线性微 分方组的初值问题(57)的等价性描述本节所 有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 推论1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于n. 基本解组: 1 2 ( ), ( ) , ( ); n (5.15)n个线性无关解x t x t x t 为(5.15)的一个基本解组. 注1: (5.15)的基本解组不唯一. 注2: (5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间. 注3: 由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微 分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所 有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去

首先有:一组(m-1)次可微的纯量函数x(O)x1()…x(O) S线性相关的充要条件是,向量函数 X x() (t x1""(t)人(x2(t) n-」 线性相关 证明:设x(1)2x2(4)…,xn(t)线性相关, 则存在不全为零的常数c1c2…,Cn,使得 c1x()+C2x2()+…+Cnx(t)=0 将上式对t微分一次,二次,…,n-1次得 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助

齐次线性方程组的通解结构 首先有: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 一组(n-1)次可微的纯量函数x t x t x t 线性相关的充要条件是,向量函数 1 2 ' ' ' 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ; ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t − − −                                        线性相关. 证明: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 设 线性相关, x t x t x t 1 2 , , , n 则存在不全为零的常数 ,使得 c c c 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t + + + = 将上式对t微分一次,二次, ,n-1次得